egy kvadratikus egyenlet grafikonja

tudjuk, hogy bármely két változóval rendelkező lineáris egyenlet y=mx+b formában írható, és hogy grafikonja egy vonal. Ebben a szakaszban látni fogjuk, hogy minden másodfokú egyenlet formájában y=ax2+bx+c van egy ívelt grafikon úgynevezett parabolaThe gráf bármely másodfokú egyenlet y=ax2+bx+c, ahol a, b, c valós számokra, valamint a≠0..

két pont határozza meg a sorokat. Mivel azonban a parabola ívelt, több mint két pontot kell találnunk. Ebben a szövegben legalább öt pontot határozunk meg elfogadható vázlat előállításának eszközeként. Először az első parabolát ábrázoljuk pontok ábrázolásával. Az y=ax2+bx+c forma kvadratikus egyenlete alapján x a független változó, y pedig a függő változó. Válasszon néhány x értéket, majd határozza meg a megfelelő y-értékeket. Ezután rajzolja meg a pontokat, majd vázolja fel a grafikont.

1. példa: grafikon pontok ábrázolásával: y = x2-2x-3.

megoldás: ebben a példában válassza ki az x-értékeket {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} számítsa ki a megfelelő y-értékeket.

rajzolja meg ezeket a pontokat és határozza meg a grafikon alakját.

válasz:

grafizáláskor bizonyos speciális pontokat szeretnénk beilleszteni a grafikonba. Az y-intercept az a pont, ahol a grafikon metszi az y tengelyt. Az x-elfogások azok a pontok, ahol a grafikon keresztezi az x-tengelyt. A csúcsaz a pont, amely meghatározza a parabola minimális vagy maximális értékét. az a pont, amely meghatározza a gráf minimális vagy maximális értékét. Végül a szimmetria vonala függőleges vonal a csúcson, x = – b2a, amelyről a parabola szimmetrikus. (a szimmetria tengelyének is nevezika szimmetria vonalának hivatkozásakor használt kifejezés.) a függőleges vonal a csúcson keresztül, amelyről a parabola szimmetrikus.

bármely parabola esetében megtaláljuk a csúcsot és az y-elfogást. Ezen felül, ha az x-elfogások léteznek, akkor ezeket is meg akarjuk határozni. A különleges pontok x-értékeinek kitalálása nem praktikus; ezért olyan technikákat fogunk kifejleszteni, amelyek megkönnyítik azok megtalálását. Sok ilyen technikák fogják használni széles körben, ahogy haladunk a tanulmány algebra.

mivel az y = ax2 + bx + c forma kvadratikus egyenlete van, keresse meg az y-intercept-et x=0 beállítással és megoldással. Általában y = a (0) 2+b(0) + c=c, és van

ezután emlékezzünk arra, hogy az x-elfogások, ha léteznek, y=0 beállítással találhatók. Ehhez 0=A2 + bx + c van, amely általános megoldásokkal rendelkezik, amelyeket a kvadratikus képlet ad, x=−b±B2−4ac2a. Ezért az x-intercepteknek ez az általános formája:

azzal a ténnyel, hogy a parabola szimmetrikus, meghatározhatjuk a szimmetria függőleges vonalát az x-intercepts segítségével. Ehhez találunk a x-érték között félúton az x-metszet azáltal, hogy egy átlagos következőképpen:

Ezért a vonal a szimmetria a függőleges vonal:

használhatjuk a sorban a szimmetria, hogy megtalálja az x-értéke a csúcs. A parabola ábrázolásának lépéseit a következő példa ismerteti.

2. példa: gráf: y = −x2-2x + 3.

megoldás:

1. lépés: Határozza meg az y-elfogást. Ehhez állítsa be az x = 0 értéket és oldja meg az y értéket.

az y-intercept (0, 3).

2. lépés: Határozza meg az x-intercepteket. Ehhez állítsa be az y = 0 értéket, és oldja meg az x.

itt, amikor y = 0, két megoldást kapunk. Két x-intercept van (-3, 0) és (1, 0).

3. lépés: Határozza meg a csúcsot. Ennek egyik módja az, hogy az X=−b2a szimmetria vonal egyenletét használjuk a csúcs x-értékének megtalálásához. Ebben a példában a = -1 és b=-2:

helyettesítő -1 az eredeti egyenletbe, hogy megtalálja a megfelelő y-értéket.

a csúcs (-1, 4).

4. lépés: Határozza meg az extra pontokat, hogy legalább öt pontunk legyen. Ebben a példában elegendő egy másik pont. Válassza az x = -2 elemet, majd keresse meg a megfelelő y-értéket.

Our fifth point is (−2, 3).

Step 5: Plot the points and sketch the graph. To recap, the points that we have found are

Answer:

a parabola lefelé nyílik. Általában használja a vezető együtthatót annak meghatározására, hogy a parabola felfelé vagy lefelé nyílik-e. Ha a vezető együttható negatív, mint az előző példában, akkor a parabola lefelé nyílik. Ha a vezető együttható pozitív, akkor a parabola felfelé nyílik.

Az y=ax2+bx+c forma összes kvadratikus egyenlete parabolikus gráfokkal rendelkezik y-intercept (0, c) értékkel. Azonban nem minden parabolának van x elfogása.

3. példa: gráf: y = 2×2 + 4x + 5.

megoldás: Mivel a 2 vezető együttható pozitív, vegye figyelembe, hogy a parabola felfelé nyílik. Itt c = 5, az y-intercept pedig (0, 5). Az x-intercept-ek megtalálásához állítsa be az y = 0 értéket.

ebben az esetben a = 2, b = 4 és c = 5. Használja a diszkriminánst a megoldások számának és típusának meghatározásához.

mivel a diszkrimináns negatív, arra a következtetésre jutunk, hogy nincsenek valódi megoldások. Mivel nincsenek valódi megoldások, nincs x-intercept. Ezután meghatározzuk a csúcs x-értékét.

tekintettel arra, hogy a csúcs x-értéke -1, helyettesítse az eredeti egyenletbe a megfelelő y-érték megtalálásához.

a csúcs (-1, 3). Eddig csak két pontunk van. További három meghatározásához Válasszon néhány x-értéket a szimmetria vonalának mindkét oldalán, x = -1. Itt x-értékeket választunk -3, -2 és 1.

összefoglalni, van

Plot the points and sketch the graph.

Answer:

Example 4: Graph: y=−2×2+12x−18.

Solution: Note that a = −2: the parabola opens downward. Since c = −18, the y-intercept is (0, −18). To find the x-intercepts, set y = 0.

megoldani faktoring.

itt x = 3 kettős gyökér, tehát csak egy x-intercept, (3, 0). Az eredeti egyenletből a = -2, b = 12, C = -18. A csúcs x-értéke a következőképpen számítható ki:

tekintettel arra, hogy a csúcs x-értéke 3, helyettesítse az eredeti egyenletbe a megfelelő y-érték megtalálásához.

ezért a csúcs (3, 0), amely ugyanaz a pont, mint az x-intercept. Eddig csak két pontunk van. További három meghatározásához Válasszon néhány x-értéket a szimmetria vonalának mindkét oldalán, ebben az esetben x = 3. Válasszon x-értékeket 1, 5 és 6.

összefoglalni, mi

a Telek a pontokat vázlat a grafikon.

válasz:

5. példa: gráf: y = x2−2x-1.

megoldás: mivel a = 1, a parabola felfelé nyílik. Továbbá, c = -1, így az y-intercept (0, -1). Az x-intercept-ek megtalálásához állítsa be az y = 0 értéket.

ebben az esetben oldja meg a négyzetes képletet a = 1, b = -2 és c = -1.

Itt megkapjuk két igazi megoldást az x-et, így két x-metszet:

Hozzávetőleges értékek egy számológép:

Használja a hozzávetőleges választ helyet a megrendelt pár a grafikon. A grafikonon azonban bemutatjuk a pontos x-intercepteket. Ezután keresse meg a csúcsot.