그래프의 방정식

우리가 알고있는 어떤 선형방정식으로 두 개의 변수로 작성할 수 있습 양식에서 y=mx+b 고 그 선 그래프입니다. 이 섹션에서,우리는 그 어떤 방정식의 형태로 y=ax2+bx+c 는 곡이 그래프라고 parabolaThe 그래프의 모든 방정식 y=ax2+bx+c,a,b,c 는 실제 번호 및≠0..

두 점이 임의의 선을 결정합니다. 그러나 포물선이 구부러져 있기 때문에 두 점 이상을 찾아야합니다. 이 텍스트에서 우리는 허용 가능한 스케치를 생성하기위한 수단으로 적어도 5 점을 결정할 것입니다. 시작하려면 점을 플로팅하여 첫 번째 포물선을 그래프로 표시합니다. Y=ax2+bx+c 형식의 2 차 방정식이 주어지면 x 는 독립 변수이고 y 는 종속 변수입니다. X 에 대한 일부 값을 선택한 다음 해당 y 값을 결정하십시오. 그런 다음 점을 플롯하고 그래프를 스케치합니다.

예제 1:포인트를 플로팅하여 그래프:y=x2-2x-3.

솔루션:이 예제에서는 x-값을 선택합니다{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} 그리고 해당 y 값을 계산하십시오.

이 점들을 플롯하고 그래프의 모양을 결정합니다.그래프 작성시 그래프에 특정 특수 점을 포함시키고 싶습니다. Y 절편은 그래프가 y 축과 교차하는 지점입니다. X-인터셉트는 그래프가 x 축과 교차하는 지점입니다. Vertex 는 포물선의 최소 또는 최대 값을 정의하는 점입니다. 는 그래프의 최소 또는 최대 값을 정의하는 점입니다. 마지막으로,대칭 선포물선이 대칭 인 정점 x=-b2a 를 통과하는 수직선. (대칭의 축이라고도합니다.대칭 선을 참조 할 때 사용되는 용어.)는 포물선이 대칭 인 정점을 통과하는 수직선입니다.

어떠한 포물선,우리가 찾을 것입니다 꼭짓점 및 y. 또한,x-인터셉트가 존재한다면,우리는 그것들도 결정하기를 원할 것입니다. 이 특별한 점의 x-값을 추측하는 것은 실용적이지 않습니다; 그러므로 우리는 그들을 찾는 것을 용이하게 할 기술을 개발할 것입니다. 이러한 기술의 대부분은 우리가 대수학의 우리의 연구에서 진행으로 광범위하게 사용됩니다.

y=ax2+bx+c 형식의 2 차 방정식이 주어지면 x=0 을 설정하고 해결하여 y-절편을 찾습니다. 일반적으로,y=(0)2+b(0)+c=c,우리가

음을 기억하는 x-을 가로채,그들이 존재하는 경우,찾을 수 있습니다 설정하여 y=0. 이 작업을 수행하면 2 차 공식 인 x=−b±b2−4ac2a 에 의해 주어진 일반적인 솔루션을 갖는 0=a2+bx+c 가 있습니다. 따라서,x-차이 일반적인 형태:

를 사용하는 사실은 포물선은 대칭,우리는 결정할 수 있는 수직 라인의 대칭을 사용하여 x-을 차단. 이를 위해,우리가 찾 x-값 사이의 중간 x-을 차단하여 평균 다음과 같다:

라,라인 대칭성의 수직 라인:

우리가 사용할 수 있는 라인의 대칭성을 찾기 위해 x-값의 정점입니다. 포물선을 그래프로 표시하는 단계는 다음 예제에 설명되어 있습니다.

예제 2:그래프:y=-x2-2x+3.

솔루션:

1 단계:y 절편을 결정합니다. 이렇게하려면 x=0 을 설정하고 y 에 대해 해결하십시오.

y-절편은(0,3)입니다.

2 단계:x-인터셉트를 결정합니다. 이렇게하려면 y=0 을 설정하고 x 에 대해 해결하십시오.

여기서 y=0 일 때 두 가지 솔루션을 얻습니다. 두 개의 x-인터셉트,(-3,0)및(1,0)이 있습니다.

3 단계:정점을 결정합니다. 이를 수행하는 한 가지 방법은 대칭 선인 x=-b2a 에 대한 방정식을 사용하여 꼭지점의 x-값을 찾는 것입니다. 이 예에서 a=-1 및 b=-2:

원래 방정식에-1 을 대입하여 해당 y 값을 찾습니다.정점은(-1,4)입니다.

4 단계:플롯 할 점이 적어도 5 개가되도록 추가 점을 결정하십시오. 이 예에서는 하나의 다른 지점으로 충분합니다. X=-2 를 선택하고 해당 y 값을 찾으십시오.

Our fifth point is (−2, 3).

Step 5: Plot the points and sketch the graph. To recap, the points that we have found are

Answer:

포물선이 아래쪽으로 열립니다. 일반적으로 선행 계수를 사용하여 포물선이 상향 또는 하향으로 열리는 지 여부를 결정합니다. 앞의 예에서와 같이 선행 계수가 음수이면 포물선이 아래쪽으로 열립니다. 선행 계수가 양수이면 포물선이 위쪽으로 열립니다.

y=ax2+bx+c 형식의 모든 2 차 방정식에는 y-절편(0,c)이있는 포물선 그래프가 있습니다. 그러나 모든 포물선이 x 인터셉트를 가지고있는 것은 아닙니다.

예제 3:그래프:y=2×2+4x+5.

솔루션: 선행 계수 2 가 양수이기 때문에 포물선이 위쪽으로 열리는 것에 유의하십시오. 여기서 c=5 이고 y-절편은(0,5)입니다. X-인터셉트를 찾으려면 y=0 으로 설정하십시오.이 경우 a=2,b=4 및 c=5 입니다. 판별자를 사용하여 솔루션의 수와 유형을 결정하십시오.판별자가 음수이므로 실제 해결책이 없다고 결론을 내립니다. 실제 솔루션이 없기 때문에 x-인터셉트가 없습니다. 다음으로,우리는 꼭지점의 x 값을 결정합니다.

주는 x-값의 정점 -1,대체 원본 방정식을 찾기 위해 해당 y 값이다.이 경우 정점은(-1,3)입니다. 지금까지 우리는 단지 두 가지 점만 가지고 있습니다. 세 가지를 더 결정하려면 대칭 선의 양쪽에있는 일부 x-값인 x=-1 을 선택하십시오. 여기서 x-값 -3,-2 및 1 을 선택합니다.

요약하자면,우리는

Plot the points and sketch the graph.

Answer:

Example 4: Graph: y=−2×2+12x−18.

Solution: Note that a = −2: the parabola opens downward. Since c = −18, the y-intercept is (0, −18). To find the x-intercepts, set y = 0.나는 이것이 어떻게 작동하는지 잘 모르겠습니다.

여기서 x=3 은 이중 루트이므로 하나의 x-절편(3,0)만 있습니다. 원래 방정식에서 a=-2,b=12 및 c=-18 입니다. X-값의 정점은 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

주는 x-값의 꼭지점 3,대체 원본 방정식을 찾기 위해 해당 y 값이다.

따라서,꼭지점이(3,0)일어나는 동일한 시점으로 x-절편입니다. 지금까지 우리는 단지 두 가지 점만 가지고 있습니다. 세 가지를 더 결정하려면이 경우 x=3 인 대칭 선의 양쪽에있는 일부 x-값을 선택하십시오. X-값 1,5 및 6 을 선택합니다.

요약하면,우리가

플롯한 포인트와 스케치하다고 생각합니다.

답변:

예제 5:그래프:y=x2−2x−1.

해결책:a=1 이므로 포물선이 위쪽으로 열립니다. 또한 c=-1 이므로 y 절편은(0,-1)입니다. X-인터셉트를 찾으려면 y=0 으로 설정하십시오.

이 경우 a=1,b=-2 및 c=-1 의 2 차 공식을 사용하여 해결하십시오.

여기서 우리는 두 가지에 대한 진정한 해결책을 위한 x,이렇게 두 가지가 있 x-을 가로채

대략적인 값을 사용하여 계산기:

를 사용하여 대략적인 응답을 장소를 주문에도 그래프입니다. 그러나 우리는 그래프에 정확한 x-인터셉트를 제시 할 것입니다. 다음으로 꼭지점을 찾으십시오.나는 이것이 어떻게 작동하는지 잘 모르겠습니다.