Il grafico di un’equazione quadratica

Sappiamo che qualsiasi equazione lineare con due variabili può essere scritta nella forma y=mx+b e che il suo grafico è una linea. In questa sezione, vedremo che qualsiasi equazione quadratica della forma y = ax2 + bx + c ha un grafico curvo chiamato parabolail grafico di qualsiasi equazione quadratica y = ax2 + bx + c, dove a, b e c sono numeri reali e a 0 0..

Due punti determinano qualsiasi linea. Tuttavia, poiché una parabola è curva, dovremmo trovare più di due punti. In questo testo, determineremo almeno cinque punti come mezzo per produrre uno schizzo accettabile. Per iniziare, disegniamo la nostra prima parabola tracciando punti. Data un’equazione quadratica della forma y = ax2 + bx + c, x è la variabile indipendente e y è la variabile dipendente. Scegliere alcuni valori per x e quindi determinare i corrispondenti valori y. Quindi tracciare i punti e disegnare il grafico.

Esempio 1: Grafico tracciando punti: y=x2−2x−3.

Soluzione: in questo esempio, scegliere i valori x {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} e calcola i corrispondenti valori Y.

Tracciare questi punti e determinare la forma del grafico.

Risposta:

Durante la grafica, vogliamo includere alcuni punti speciali nel grafico. L’intercetta y è il punto in cui il grafico interseca l’asse y. Le intercettazioni x sono i punti in cui il grafico interseca l’asse X. Il Vertexil punto che definisce il minimo o il massimo di una parabola. è il punto che definisce il minimo o il massimo del grafico. Infine, la linea di simmetriAla linea verticale attraverso il vertice, x = – b2a, su cui la parabola è simmetrica. (chiamato anche l’asse della simmetriaun termine usato quando si fa riferimento alla linea di simmetria.) è la linea verticale attraverso il vertice, su cui la parabola è simmetrica.

Per qualsiasi parabola, troveremo il vertice e l’intercetta y. Inoltre, se esistono le intercettazioni x, allora vorremo determinare anche quelle. Indovinare i valori x di questi punti speciali non è pratico; pertanto, svilupperemo tecniche che faciliteranno la loro ricerca. Molte di queste tecniche saranno ampiamente utilizzate mentre progrediamo nel nostro studio dell’algebra.

Data un’equazione quadratica della forma y=ax2+bx+c, trova l’intercetta y impostando x=0 e risolvendo. In generale, y=a(0)2+b(0)+c=c, e abbiamo

Quindi, ricordiamo che le intercettazioni x, se esistono, possono essere trovate impostando y=0. Facendo questo, abbiamo 0=a2+bx + c, che ha soluzioni generali date dalla formula quadratica, x = −b±b2−4ac2a. Pertanto, le x-intercepts hanno questa forma generale:

Usando il fatto che una parabola è simmetrica, possiamo determinare la linea verticale di simmetria usando le x-intercepts. Per fare questo, dobbiamo trovare il valore di x a metà strada tra la x-intercetta prendendo una media come segue:

Pertanto, la linea di simmetria è la linea verticale:

E ‘ possibile utilizzare la linea di simmetria per trovare il valore di x del vertice. I passaggi per la rappresentazione grafica di una parabola sono descritti nel seguente esempio.

Esempio 2: Grafico: y= – x2-2x + 3.

Soluzione:

Passaggio 1: Determinare l’intercetta y. Per fare ciò, imposta x = 0 e risolvi per y.

L’intercetta y è (0, 3).

Passo 2: Determinare gli x-intercetta. Per fare ciò, imposta y = 0 e risolvi per x.

Qui quando y = 0, otteniamo due soluzioni. Ci sono due x-intercetti, (-3, 0) e (1, 0).

Passo 3: Determinare il vertice. Un modo per farlo è usare l’equazione per la linea di simmetria, x=−b2a, per trovare il valore x del vertice. In questo esempio, a = -1 e b=-2:

Sostituiscono -1 nell’equazione originale per trovare il valore y corrispondente.

Il vertice è (-1, 4).

Passo 4: Determinare punti extra in modo da avere almeno cinque punti da tracciare. In questo esempio, un altro punto sarà sufficiente. Scegli x = -2 e trova il valore y corrispondente.

Our fifth point is (−2, 3).

Step 5: Plot the points and sketch the graph. To recap, the points that we have found are

Answer:

La parabola si apre verso il basso. In generale, utilizzare il coefficiente principale per determinare se la parabola si apre verso l’alto o verso il basso. Se il coefficiente principale è negativo, come nell’esempio precedente, la parabola si apre verso il basso. Se il coefficiente principale è positivo, la parabola si apre verso l’alto.

Tutte le equazioni quadratiche della forma y=ax2+bx+c hanno grafici parabolici con intercetta y (0, c). Tuttavia, non tutte le parabole hanno intercettazioni x.

Esempio 3: Grafico: y=2×2 + 4x + 5.

Soluzione: Poiché il coefficiente principale 2 è positivo, si noti che la parabola si apre verso l’alto. Qui c = 5 e l’intercetta y è (0, 5). Per trovare le intercettazioni x, impostare y = 0.

In questo caso, a = 2, b = 4 e c = 5. Utilizzare il discriminante per determinare il numero e il tipo di soluzioni.

Poiché il discriminante è negativo, concludiamo che non ci sono soluzioni reali. Poiché non ci sono soluzioni reali,non ci sono intercettazioni x. Successivamente, determiniamo il valore x del vertice.

Dato che il valore x del vertice è -1, sostituire nell’equazione originale per trovare il valore y corrispondente.

Il vertice è (-1, 3). Finora, abbiamo solo due punti. Per determinarne altri tre, scegli alcuni valori x su entrambi i lati della linea di simmetria, x = -1. Qui scegliamo x-values -3, -2 e 1.

Per riassumere, abbiamo

Plot the points and sketch the graph.

Answer:

Example 4: Graph: y=−2×2+12x−18.

Solution: Note that a = −2: the parabola opens downward. Since c = −18, the y-intercept is (0, −18). To find the x-intercepts, set y = 0.

Risolvi con il factoring.

Qui x = 3 è una doppia radice, quindi c’è solo una x-intercetta, (3, 0). Dall’equazione originale, a = -2, b = 12 e c = -18. Il valore x del vertice può essere calcolato come segue:

Dato che il valore x del vertice è 3, sostituire nell’equazione originale per trovare il valore y corrispondente.

Pertanto, il vertice è (3, 0), che sembra essere lo stesso punto dell’intercetta x. Finora, abbiamo solo due punti. Per determinarne altri tre, scegli alcuni valori x su entrambi i lati della linea di simmetria, x = 3 in questo caso. Scegliere i valori x 1, 5 e 6.

Per riassumere, abbiamo

Tracciare i punti e disegnare il grafico.

Risposta:

Esempio 5: Grafico: y=x2−2x−1.

Soluzione: Poiché a = 1, la parabola si apre verso l’alto. Inoltre, c = -1, quindi l’intercetta y è (0, -1). Per trovare le intercettazioni x, impostare y = 0.

In questo caso, risolvi usando la formula quadratica con a = 1, b = -2 e c = -1.

Qui si ottengono due soluzioni reali per x, e quindi ci sono due x-intercetta:

valori Approssimativi per mezzo di un calcolatore:

l’Uso approssimativo risposte a posto la coppia ordinata del grafico. Tuttavia, presenteremo le esatte intercettazioni x sul grafico. Quindi, trova il vertice.