Articles

Grafparabler

by admin

grafen for en kvadratisk ligning

Vi ved, at enhver lineær ligning med to variabler kan skrives i form y=MH+b, og at dens graf er en linje. I dette afsnit vil vi se, at enhver kvadratisk ligning af formen y=aks2 + BKS + c har en buet graf kaldet en parabolgrafen af enhver kvadratisk ligning y=aks2 + BKS + c, hvor A, b og c er reelle tal og en kur 0..

to punkter bestemmer enhver linje. Men da en parabola er buet, bør vi finde mere end to punkter. I denne tekst vil vi bestemme mindst fem punkter som et middel til at producere en acceptabel skitse. Til at begynde med tegner vi vores første parabel ved at plotte punkter. Givet en kvadratisk ligning af formen y=aks2 + BKS + c, er den uafhængige variabel og y er den afhængige variabel. Vælg nogle værdier for H, og bestem derefter de tilsvarende y-værdier. Derefter plotte punkterne og tegne grafen.

eksempel 1: graf ved at plotte punkter: y=2-2h-3.

løsning: i dette eksempel skal du vælge {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} og beregne de tilsvarende y-værdier.

Plot disse punkter og bestemme formen af grafen.

svar:

Når vi tegner, vil vi medtage visse specielle punkter i grafen. Y-skæringspunktet er det punkt, hvor grafen skærer y-aksen. Det er de punkter, hvor grafen skærer h-aksen. Toppunktetdet punkt, der definerer minimum eller maksimum for en parabola. er det punkt, der definerer minimum eller maksimum af grafen. Endelig er linjen af symmetriden lodrette linje gennem toppunktet, h=−b2a, om hvilken parabolen er symmetrisk. (også kaldet symmetriaksenet udtryk, der anvendes ved henvisning til symmetrilinjen.) er den lodrette linje gennem toppunktet, om hvilket parabolen er symmetrisk.

for enhver parabel finder vi toppunktet og y-intercept. Derudover, hvis der findes intercepts, så vil vi også bestemme dem. Det er ikke praktisk at gætte på værdierne for disse specielle punkter; derfor vil vi udvikle teknikker, der gør det lettere at finde dem. Mange af disse teknikker vil blive brugt i vid udstrækning som vi fremskridt i vores undersøgelse af algebra.

givet en kvadratisk ligning af formen y=aks2 + BKS + c, find y-skæringspunktet ved at indstille H=0 og løse. Generelt er y=a (0) 2+b(0) + c=c, og vi har

husk derefter, at HS-aflytningerne, hvis de findes, kan findes ved at indstille y=0. Ved at gøre dette har vi 0=A2+BH+c, som har generelle løsninger givet ved den kvadratiske formel, H=−B kur b2−4ac2a.

Ved hjælp af det faktum, at en parabola er symmetrisk, kan vi bestemme den lodrette symmetrilinie ved hjælp af HS-intercepterne. For at gøre dette finder vi symmetrilinjen den lodrette linje:

derfor er symmetrilinjen den lodrette linje:

Vi kan bruge symmetrilinjen til at finde den lodrette linje:

Vi kan bruge symmetrilinjen til at finde værdi af toppunktet. Trinene til tegning af en parabola er beskrevet i det følgende eksempel.

eksempel 2: graf: y= – 2-2 gange+3.

løsning:

Trin 1: Bestem y-skæringspunktet.

y-skæringspunktet er (0, 3).

Trin 2: Find ud af, hvad der sker.

Her når y = 0 får vi to løsninger. Der er to h-aflytninger, (-3, 0) og (1, 0).

Trin 3: Bestem toppunktet. En måde at gøre dette på er at bruge ligningen for symmetrilinjen, h=−b2a, for at finde k-værdien af toppunktet. I dette eksempel A = -1 og b = -2:

erstatte -1 i den oprindelige ligning for at finde den tilsvarende y-værdi.

toppunktet er (-1, 4).

Trin 4: Bestem ekstra point, så vi har mindst fem point at plotte. I dette eksempel er et andet punkt tilstrækkeligt. Vælg h = -2 og find den tilsvarende y-værdi.

Our fifth point is (−2, 3).

Step 5: Plot the points and sketch the graph. To recap, the points that we have found are

y-intercept: (0, 3)
x-intercept: (−3, 0) and (1, 0)
Vertex: (−1, 4)
Extra point: (−2, 3)

Answer:

parabolen åbner nedad. Brug generelt den førende koefficient til at bestemme, om parabolen åbner opad eller nedad. Hvis den førende koefficient er negativ, som i det foregående eksempel, åbner parabolen nedad. Hvis den førende koefficient er positiv, åbner parabolen opad.

alle kvadratiske ligninger af formen y=aks2+BKS+c har parabolske grafer med y-intercept (0, c). Imidlertid har ikke alle paraboler h-aflytninger.

eksempel 3: graf: y=2H2 + 4h + 5.

opløsning: Fordi den førende koefficient 2 er positiv, bemærk at parabolen åbner opad. Her er c = 5 og Y-skæringspunktet (0, 5). Indstil y = 0 for at finde intercepterne.

i dette tilfælde er a = 2, b = 4 og c = 5. Brug diskriminanten til at bestemme antallet og typen af løsninger.

da diskriminanten er negativ, konkluderer vi, at der ikke er nogen reelle løsninger. Fordi der ikke er nogen reelle løsninger, er der ingen intercepts. Dernæst bestemmer vi K-værdien af toppunktet.

i betragtning af AT K-værdien af toppunktet er -1, skal du erstatte den oprindelige ligning for at finde den tilsvarende y-værdi.

toppunktet er (-1, 3). Indtil videre har vi kun to punkter. For at bestemme yderligere tre skal du vælge nogle h-værdier på hver side af symmetrilinjen, h = -1. Her vælger vi værdierne -3, -2 og 1.

for at opsummere har vi

y-intercept: (0, 5)
x-intercepts: None
Vertex: (−1, 3)
Extra points: (−3, 11), (−2, 5), (1, 11)

Plot the points and sketch the graph.

Answer:

Example 4: Graph: y=−2×2+12x−18.

Solution: Note that a = −2: the parabola opens downward. Since c = −18, the y-intercept is (0, −18). To find the x-intercepts, set y = 0.

løs ved factoring.

Her er en dobbelt rod, så der er kun et røntgenafsnit (3, 0). Fra den oprindelige ligning er a = -2, b = 12 og c = -18.

i betragtning af AT K-værdien af toppunktet er 3, skal du erstatte den oprindelige ligning for at finde den tilsvarende y-værdi.

derfor er toppunktet (3, 0), som tilfældigvis er det samme punkt som røntgenskæringen. Indtil videre har vi kun to punkter. For at bestemme yderligere tre skal du vælge nogle h-værdier på hver side af symmetrilinjen, H = 3 i dette tilfælde. Vælg værdier 1, 5 og 6.

for at opsummere har vi

y-intercept: (0, -18)
h-intercept: (3, 0)
toppunkt: (3, 0)
ekstra point: (1, -8), (5, -8), (6, -18)

Plot punkterne og skitse grafen.

svar:

eksempel 5: graf: y=2−2−1.

opløsning: siden a = 1 åbner parabolen opad. Desuden er c = -1, så y-skæringspunktet er (0, -1). Indstil y = 0 for at finde intercepterne.

i dette tilfælde skal du løse ved hjælp af den kvadratiske formel med A = 1, b = -2 og c = -1.

Her får vi to rigtige løsninger til H, og der er således to h-aflytninger:

omtrentlige værdier ved hjælp af en lommeregner:

brug de omtrentlige svar til at placere det bestilte par på grafen. Vi vil dog præsentere de nøjagtige h-aflytninger på grafen. Find derefter toppunktet.