Grafen til En Kvadratisk Ligning

vi vet at enhver lineær ligning med to variabler kan skrives i form y=mx + b og at grafen er en linje. I denne delen vil vi se at enhver kvadratisk ligning av formen y = ax2 + bx + c har en buet graf kalt en parabolagraf av en kvadratisk ligning y=ax2 + bx + c, hvor a, b og c er reelle tall og en≠0..

to punkter bestemmer hvilken som helst linje. Men siden en parabola er buet, bør vi finne mer enn to poeng. I denne teksten vil vi bestemme minst fem poeng som et middel til å produsere en akseptabel skisse. Til å begynne med grafer vi vår første parabola ved å plotte poeng. Gitt en kvadratisk ligning av formen y=ax2 + bx + c, x er den uavhengige variabelen og y er den avhengige variabelen. Velg noen verdier for x og bestem deretter de tilsvarende y-verdiene. Plott deretter poengene og skisser grafen.

Eksempel 1: Graf ved å plotte poeng: y=x2-2x-3.

Løsning: i dette eksemplet velger du x-verdiene {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} og beregne de tilsvarende y-verdiene.

Plott disse punktene og bestem formen på grafen.

Svar:

når vi grafer, vil vi inkludere visse spesielle punkter i grafen. Y-avskjæringen er punktet der grafen krysser y-aksen. X-avskjæringene er punktene hvor grafen krysser x-aksen. Vertexpunktet som definerer minimum eller maksimum av en parabola. er punktet som definerer minimum eller maksimum av grafen. Til slutt, symmetrilinjenden vertikale linjen gjennom toppunktet, x= – b2a, om hvilken parabolen er symmetrisk. (også kalt symmetriakselenet begrep som brukes når man refererer til symmetrilinjen.) er den vertikale linjen gjennom toppunktet, om hvilken parabolen er symmetrisk.

for noen parabola finner vi toppunktet og y-avskjæringen. I tillegg, hvis x-avskjæringene eksisterer, vil vi også bestemme dem. Å gjette på x-verdiene til disse spesielle punktene er ikke praktisk; derfor vil vi utvikle teknikker som vil lette å finne dem. Mange av disse teknikkene vil bli brukt mye som vi fremgang i vår studie av algebra.

Gitt en kvadratisk ligning av skjemaet y=ax2 + bx + c, finn y-avskjæringen ved å sette x = 0 og løse. Generelt, y=a(0)2+b(0)+c=c, og vi har

Neste, husk at x-avskjærer, hvis de eksisterer, kan bli funnet ved å sette y=0. Ved å gjøre dette har vi 0=a2 + bx + c, som har generelle løsninger gitt av den kvadratiske formelen, x= – b±b2-4ac2a. Derfor har x-avskjæringene denne generelle formen:

Ved å Bruke det faktum at en parabola er symmetrisk, kan vi bestemme den vertikale symmetrilinjen ved hjelp av x-avskjæringene. For å gjøre dette finner vi x-verdien midt mellom x-avskjærene ved å ta et gjennomsnitt som følger:

derfor er symmetrilinjen den vertikale linjen:

Vi kan bruke symmetrilinjen til å finne x-verdien av toppunktet. Trinnene for å tegne en parabola er skissert i følgende eksempel.

Eksempel 2: Graf: y= – x2-2x + 3.

Løsning:

Trinn 1: Bestem y-avskjæringen. For å gjøre dette, sett x = 0 og løs for y.

y-avskjæringen er (0, 3).

Trinn 2: Bestem x-avskjæringene. For å gjøre dette, sett y = 0 og løs for x.

her når y = 0, får vi to løsninger. Det er to x-avskjæringer, (-3, 0) og (1, 0).

Trinn 3: Bestem toppunktet. En måte å gjøre dette på er å bruke ligningen for symmetrilinjen, x= – b2a, for å finne x-verdien av toppunktet. I dette eksemplet Erstatter a = -1 og b = -2:

-1 I den opprinnelige ligningen for å finne den tilsvarende y-verdien.

toppunktet er (-1, 4).Trinn 4: Bestem ekstra poeng slik at vi har minst fem poeng å plotte. I dette eksemplet vil et annet punkt være tilstrekkelig. Velg x = -2 og finn den tilsvarende y-verdien.

Our fifth point is (−2, 3).

Step 5: Plot the points and sketch the graph. To recap, the points that we have found are

Answer:

parabolen åpnes nedover. Bruk generelt den ledende koeffisienten for å avgjøre om parabolen åpner oppover eller nedover. Hvis den ledende koeffisienten er negativ, som i forrige eksempel, åpner parabolen nedover. Hvis den ledende koeffisienten er positiv, åpner parabolen oppover.

Alle kvadratiske ligninger av formen y = ax2 + bx + c har parabolske grafer med y-avskjæring (0, c). Men ikke alle parabler har x intercepts.

Eksempel 3: Graf: y=2×2 + 4x + 5.

Løsning: Fordi den ledende koeffisienten 2 er positiv, merk at parabolen åpner oppover. Her er c = 5 og y-avskjæringen er (0, 5). For å finne x-avskjæringene, sett y = 0.

i dette tilfellet a = 2, b = 4 og c = 5. Bruk diskriminanten til å bestemme antall og type løsninger.

siden diskriminanten er negativ, konkluderer vi med at det ikke finnes noen reelle løsninger. Fordi det ikke er noen reelle løsninger, er det ingen x-intercepts. Deretter bestemmer vi x-verdien av toppunktet.

Gitt at x-verdien av toppunktet er -1, erstatt i den opprinnelige ligningen for å finne den tilsvarende y-verdien.

toppunktet er (-1, 3). Så langt har vi bare to poeng. For å bestemme tre flere, velg noen x-verdier på hver side av symmetrilinjen, x = -1. Her velger vi x-verdiene -3, -2 og 1.

for å oppsummere har vi

Plot the points and sketch the graph.

Answer:

Example 4: Graph: y=−2×2+12x−18.

Solution: Note that a = −2: the parabola opens downward. Since c = −18, the y-intercept is (0, −18). To find the x-intercepts, set y = 0.

Løs ved factoring.

her er x = 3 en dobbel rot, så det er bare en x-avskjæring, (3, 0). Fra den opprinnelige ligningen, a = -2, b = 12 og c = -18. X-verdien av toppunktet kan beregnes som følger:

Gitt at x-verdien av toppunktet er 3, erstatt i den opprinnelige ligningen for å finne den tilsvarende y-verdien.

derfor er toppunktet (3, 0), som skjer for å være det samme punktet som x-avskjæringen. Så langt har vi bare to poeng. For å bestemme tre flere, velg noen x-verdier på hver side av symmetrilinjen, x = 3 i dette tilfellet. Velg x-verdiene 1, 5 og 6.

for å oppsummere har vi

Plott poengene og skisser grafen.

Svar:

Eksempel 5: Graf: y=x2−2x−1.

Løsning: siden a = 1 åpner parabolen oppover. Videre er c = -1, så y-avskjæringen er (0, -1). For å finne x-avskjæringene, sett y = 0.

i dette tilfellet løser du ved hjelp av kvadratisk formel med a = 1, b = -2 og c = -1.

Her får vi to reelle løsninger for x, og dermed er det to x-avskjæringer:

Omtrentlige verdier ved hjelp av en kalkulator:

bruk de omtrentlige svarene for å plassere det bestilte paret på grafen. Vi vil imidlertid presentere de nøyaktige x-avskjæringene på grafen. Deretter finner du toppunktet.