A Lie algebrák részecskefizikához való viszonyának elemi bemutatásához lásd: részecskefizika és reprezentációelmélet.

fő cikk: Georgi-Glashow model

SU (5) a legegyszerűbb bél. A legkisebb egyszerű Hazugságcsoport, amely a standard modellt tartalmazza, és amelyen az első nagy egységes elmélet alapult,

S U (5) ⊃ S U ( 3) × S U ( 2) × U ( 1) {\displaystyle SU(5)\supset SU(3)\times SU(2)\times U(1)}.

Az ilyen csoportszimmetriák lehetővé teszik több ismert részecske, köztük a foton, A W és a Z bozonok és a gluon újraértelmezését, mint egyetlen részecskemező különböző állapotait. Nem nyilvánvaló azonban, hogy a kiterjesztett “Grand Unified” szimmetria lehető legegyszerűbb választási lehetőségeinek az elemi részecskék megfelelő leltárát kell eredményezniük. Az a tény, hogy az összes jelenleg ismert anyagrészecske tökéletesen illeszkedik a SU(5) legkisebb csoport reprezentációinak három példányába, és azonnal hordozza a helyes megfigyelt töltéseket, az egyik első és legfontosabb oka annak, hogy az emberek úgy vélik, hogy egy nagy egységes elmélet valóban megvalósulhat a természetben.

az SU(5) két legkisebb reprezentációja az 5 (a meghatározó ábrázolás) és a 10. A standard hozzárendelésben az 5 tartalmazza a jobbkezes quark color triplet és a balkezes lepton isospin doublet töltés konjugátumait, míg a 10 tartalmazza a hat up-type kvark komponenst, a balkezes quark color triplet, valamint a jobbkezes elektront. Ezt a sémát az anyag mindhárom ismert generációjára meg kell ismételni. Figyelemre méltó, hogy az elmélet anomáliamentes ebben az anyagtartalomban.

a feltételezett jobbkezes neutrínók su(5) egysíkúak, ami azt jelenti, hogy tömegét semmilyen szimmetria nem tiltja; nincs szüksége spontán szimmetria törésre, ami megmagyarázza, miért lenne nehéz a tömege. (lásd: seesaw mechanizmus).

SO(10)Edit

a következő egyszerű Hazugságcsoport, amely a standard modellt tartalmazza,

S O (10) ⊃ S U ( 5) ⊃ S U ( 3) × S U ( 2) × U ( 1) {\displaystyle SO(10)\supset SU(5)\supset SU(3)\times SU(2)\times U(1)}.

itt az anyag egyesítése még teljesebb, mivel a 16 redukálhatatlan spinor reprezentáció mind az SU(5) 5, mind a 10-et tartalmazza, valamint egy jobbkezes neutrínót, így a kiterjesztett standard modell egy generációjának teljes részecsketartalmát neutrínó tömegekkel. Ez már a legnagyobb egyszerű csoport, amely az anyag egyesítését egy olyan rendszerben valósítja meg, amely csak a már ismert anyagrészecskéket foglalja magában (a Higgs-ágazaton kívül).

Mivel a különböző standard modell fermions csoportosítva nagyobb képviseletet, Belek pontosabban megjósolni kapcsolatok között a fermion tömegek, mint például között az elektronok, a le quark, a müon a furcsa quark, a tau lepton, valamint az alsó quark az SU(5), valamint OLYAN(10). Ezek közül a tömegkapcsolatok közül néhány megközelítőleg, de a legtöbb nem (lásd Georgi-Jarlskog mass relation).

A bozon mátrix OLYAN(10) található azáltal, hogy a 15 × 15-ös mátrix, a 10 + 5 ábrázolása SU(5), valamint hozzá egy extra sor, illetve oszlop a jobbkezes neutrínó. A bozonokat úgy találjuk meg, hogy a 20 töltött bozon mindegyikéhez (2 jobbkezes w bozon, 6 masszív töltésű gluon és 12 X/Y típusú bozon) hozzáadunk egy extra nehéz semleges Z-bozont, hogy összesen 5 semleges bozont készítsünk. A boson mátrixnak minden sorban és oszlopban bozonja vagy új partnere lesz. Ezek a párok kombinálják az ismerős 16D Dirac spinor mátrixok létrehozását SO(10).

E6Edit

a húrelmélet egyes formáiban, beleértve az E8 × E8 heterotikus karakterláncelméletet, a kapott négydimenziós elmélet a hatdimenziós Calabi-Yau sokrétű spontán kompaktálás után hasonlít az E6 csoporton alapuló bélre. Nevezetesen az E6 az egyetlen kivételes egyszerű Hazugságcsoport, amely komplex ábrázolásokkal rendelkezik, ami követelmény egy elmélet számára, hogy királis fermionokat (nevezetesen az összes gyengén kölcsönhatású fermionot) tartalmazzon. Ezért a másik négy (G2, F4, E7 és E8) nem lehet a bél szelvénycsoportja.

Kiterjesztett Grand Unified TheoriesEdit

a Nem-királis fájlokat a Standard Modell vectorlike split-multiplet részecske spektrumot, ami természetesen megjelenik a magasabb SU(N) Bátor jelentősen módosíthatja a sivatagban, a fizika, ami a reális (string-skála) grand egyesítés a hagyományos három kvark-lepton családok használata nélkül is szuperszimmetria (lásd alább). Másrészt a szuperszimmetrikus SU(8) GUT-ban kialakuló új, hiányzó VEV-mechanizmus miatt a mérőhierarchia (doublet-triplet hasító) problémájának és az íz egyesítésének problémájának egyidejű megoldása megtalálható.

négy család / generáció, SU(8): feltételezve, hogy a fermionok 4 generációja 3 helyett összesen 64 típusú részecskét eredményez. Ezeket az SU(8) 64 = 8 + 56 ábrázolásába lehet helyezni. Ez lehet osztani SU (5) × SU (3)F × U (1), amely a SU(5) elmélet együtt néhány nehéz bozonok, amelyek hatnak a generáció száma.

négy család / generáció, O (16): ismét feltételezve 4 generáció fermionok, a 128 részecskék és anti-részecskék lehet helyezni egy spinor ábrázolása O (16).

Symplectic csoportok kvaternió representationsEdit

Symplectic nyomtávú csoportok is tekinthetők. Például az Sp (8) (amelyet a symplectic group cikkben Sp (4) – nek neveznek) reprezentációja 4 × 4 kvaternion egységes mátrixban van, amely 16 dimenziós valós reprezentációval rendelkezik, így egy mérőcsoport jelöltjének tekinthető. Az Sp (8) 32 töltött bozonnal és 4 semleges bozonnal rendelkezik. Alcsoportjai közé tartozik a su(4), így legalább a su(3) × U(1) gluonjait és fotonjait tartalmazhatja. Bár ebben a reprezentációban valószínűleg nem lehetséges, hogy gyenge bozonok hatnak a királis fermionokra. A fermionok kvaternion ábrázolása lehet: L {\displaystyle {\begin{bmatrix}e+i{\overline {e}}+jv+k{\overline {v}}\\u_{r}+i{\overline {u_{r}}}+jd_{r}+k{\overline {d_{r}}}\\u_{g}+i{\overline {u_{g}}}+jd_{g}+k{\overline {d_{g}}}\\u_{b}+i{\overline {u_{b}}}+jd_{b}+k{\overline {d_{b}}}\\\end{bmatrix}}_{L}}

további szövődmény, a kvaternió ábrázolása fermions, hogy kétféle szorzás: a bal szorzás, majd jobbról szorzás, amely figyelembe kell venni. Kiderült, hogy a bal és a jobbkezes 4 × 4 kvaternion mátrixok is egyenértékűek azzal, hogy egyetlen jobb szorzást tartalmaz egy egység kvaternionnal, amely extra SU-t(2) ad hozzá, így van egy extra semleges Bozon és még két töltött bozon. Így a bal-és a jobbkezes 4 × 4 kvaternion mátrixok csoportja Sp (8) × SU (2), amely tartalmazza a standard modell bozonokat: S U ( 4 , H ) L × H R = S p ( 8 ) × S U ( 2 ) ⊃ S U ( 4 ) × S U ( 2 ) ⊃ S U ( 3 ) × S U ( 2 ) × U ( 1 ) {\displaystyle SU(4,H)_{L}\alkalommal H_{R}=Sp(8)\times SU(2)\supset SU(4)\times SU(2)\supset SU(3)\times SU(2)\times U(1)} ψ egy γ μ ( Egy μ b ψ b + ψ B μ ) {\displaystyle {\overline {\psi ^{a}}}\gamma _{\mu }\left(A_{\mu }^{ab}\psi ^{b}+\psi ^{a}P_{\mu }\right)}

Octonion representationsEdit

Ez lehet jegyezni, hogy egy generáció 16 fermions lehet helyezni a formában egy octonion minden eleme a octonion, hogy egy 8-vektor. Ha a 3 generációt ezután 3×3 hermitian mátrixba helyezzük, az átlós elemek bizonyos kiegészítéseivel, akkor ezek a mátrixok kivételes (Grassmann-) Jordan algebrát alkotnak, amelynek szimmetria csoportja az egyik kivételes Hazugságcsoport (F4, E6, E7 vagy E8), a részletektől függően.

ψ = {\displaystyle \psi ={\begin{bmatrix}a&e&\mu \{\overline {e}&b&\tau\{\overline {\mu}} &{\overline {\tau}} &C\end{bmatrix}}}}}} J 3 ( o) {\displaystyle\subset j_{3} (o)}

mert fermionok a Jordán anti-commutátorai az algebra kommutatorokká válik. Ismeretes, hogy az E6-nak O(10) alcsoportja van, így elég nagy ahhoz, hogy tartalmazza a Standard modellt. Egy E8-as mérőcsoportnak például 8 semleges bozonja, 120 töltött bozonja és 120 töltött anti-bozonja lenne. Az E8 legalacsonyabb multiplexében lévő 248 fermionnak vagy tartalmazniuk kell az anti-részecskéket (és így a baryogenezist), új felfedezetlen részecskékkel kell rendelkezniük, vagy gravitációs (spin-kapcsolat) bozonokkal kell rendelkezniük, amelyek befolyásolják a részecskék spin irányát. Mindegyiknek elméleti problémái vannak.

túl a Lie csoportokonszerkesztés

más struktúrákat javasoltak, beleértve a Lie 3-algebrákat és a Lie superalgebrákat. Ezek egyike sem felel meg a Yang-Mills elméletnek. Különösen hazugság superalgebras vezetne bosons a rossz statisztika. Szuperszimmetria azonban nem illik Yang-Mills.