Eigenvector and Eigenvalue
számos felhasználási módjuk van!
Egy egyszerű példa, hogy egy eigenvector nem változtat irányt, egy átalakulás:
A Matematika A
egy négyzetes mátrix, egy Eigenvector, valamint Eigenvalue, hogy ez az egyenlet igaz: 
látni Fogjuk, hogyan kell őket találni (ha találok) hamarosan, de először nézzük meg egy akció:
Példa: A mátrix -6 3 4 5 egy eigenvector van: 1 4 a megfelelő eigenvalue-val 6
tegyünk néhány mátrixszaporítást, hogy lássuk, mit kapunk.
Av ad nekünk:
λv ad :
de Igen, mindenki egyenlő! Tehát Av = λv, ahogy ígértem.
Figyeljük meg, hogy megszorozzuk a mátrix által a vektor el ugyanazt az eredményt, mint ha megszorzunk egy skalár (csak szám) a vektor.
Hogyan találjuk meg ezeket a dolgokat?
kezdjük az eigenvalue megtalálásával: tudjuk, hogy ennek az egyenletnek igaznak kell lennie:
Av = λv
Most pedig tegyük egy identitás mátrix szóval van dolgunk, mátrix-vs-mátrix:
Av = λIv
Hozza, hogy bal oldalon:
Av − λIv = 0
Ha v nem nulla, akkor meg tudjuk oldani λ használata csak a determináns:
| A − λI | = 0
próbáljuk meg ezt az egyenletet az előző példa:
Példa: Oldja meg a λ:
a Start with | A − λI | = 0
|
|
|
-6
3
4
5
− λ
1
0
0
1
|
|
|
= 0 |
Ami:
= 0
Számító, hogy meghatározó lesz:
(−6−λ)(5−λ) − 3×4 = 0
Amely akkor ér minket, ezt a Másodfokú Egyenletet:
λ2 + λ − 42 = 0
megoldása lesz:
λ = -7, vagy 6
igen, vannak két lehetséges az egész.
most már tudjuk, eigenvalues, nézzük meg a megfelelő eigenvectors.
példa (folytatás): keresse meg az Eigenvektor az Eigenvalue λ = 6:
kezdje:
Av = λv
Tedd az értékek tudjuk:
Után szorozni ezek a két egyenlet:
| −6x + 3y | = | 6x |
| 4x + 5y | = | 6y |
Bringing all to left hand side:
| −12x + 3y | = | 0 |
| 4x − 1y | = | 0 |
Either equation reveals that y = 4x, so the eigenvector is any non-zero multiple of this:
And we get the solution shown at the top of the page:
… és még …
Tehát Av = λv
Most rajtad a sor, hogy megtalálja a eigenvector a másik eigenvalue a -7
Miért?
mi ennek a célja?
az egyik jó dolog az, hogy mátrixokat használhatunk az űrben történő transzformációk elvégzéséhez, amelyeket sokat használnak a számítógépes grafikákban.
ebben az esetben az eigenvector “az az irány, amely nem változtatja meg az irányt” !
és az eigenvalue a stretch skálája:
- 1 azt jelenti, hogy nincs változás,
- 2 a hossz megduplázódását jelenti,
- -1 azt jelenti, hogy visszafelé mutat az eigenvalue irányában
a fizikában is sok alkalmazás létezik stb.
miért “Eigen”
Eigen egy német szó jelentése “saját” vagy “tipikus”
“das ist ihnen eigen” isGerman számára “ez jellemző rájuk”
néha angolul a “jellemző” szót használjuk, így egy eigenvektor “jellemző vektornak”nevezhető.
nem csak két dimenzió
az Eigenvektorok tökéletesen működnek 3 vagy magasabb dimenzióban.
példa: keresse meg a 3×3 mátrix eigenértékeit: 2 0 0 0 4 5 0 4 3
először számítsa ki az A − λI-t:
a determináns egyenlő nulla:
Ami van:
(2−λ) = 0
Ez az a vége, hogy egy harmadfokú egyenlet, de csak itt látjuk, hogy a gyökerek 2 (mert a 2−λ), valamint az a rész, belül a szögletes zárójelek a Másodfokú, a gyökerek -1 8.
tehát az Eigenértékek -1, 2 és 8
példa (folytatás): keresse meg a Eigenvector, amely megfelel az Eigenvalue -1
Tedd az értékek tudjuk:
Miután szorozni ezek az egyenletek:
| 2x | = | −x |
| 4y + 5z | = | −y |
| 4y + 3z | = | −z |
Bringing all to left hand side:
| 3x | = | 0 |
| 5y + 5z | = | 0 |
| 4y + 4z | = | 0 |
So x = 0, and y = −z and so the eigenvector is any non-zero multiple of this:
TEST Av:
Illetve λv:
Ugrás Av = λv, hurrá!
(Hogy próbálja meg a kezét, az egész a 2, 8)
Forgó
Vissza a 2D-s világban már megint, ez a mátrix a forgatás θ:
Példa: A forgatás 30°
cos(30°) = √32, sin(30°) = 12, akkor:
De ha forgassa el az összes pontot, amit a “irányba, hogy nem változtat irányt”?
dolgozzunk át a matematikán, hogy megtudjuk:
először számítsuk ki az A − λI-t:
Most a determináns egyenlő nulla:
Ami:
(√32-λ) (√32-λ) − (-12)(12) = 0
melyik lesz ez a kvadratikus egyenlet:
λ2 − (√3)λ + 1 = 0
, amelynek gyökerei:
λ = √32 ± i2
az eigenértékek összetettek!
nem tudom, hogyan mutassam meg ezt egy grafikonon, de még mindig kapunk megoldást.
Eigenvector
Tehát mi egy olyan eigenvector, amely megegyezik mondjuk a √32 + I2 gyökérrel?
kezdje:
Av = λv
helyezze be az általunk ismert értékeket:
Után szorozni ezek a két egyenlet:
√32x éves kortól 12 éves korig = √32x + i2x
12x + √32y = √32y + i2y
Amely egyszerűsíti, hogy:
−y = ix.
x = iy
a megoldás bármely nem nulla byte:
vagy
Wow, ilyen egyszerű a válasz!
Ez csak azért van, mert 30° – ot választottunk? Vagy működik bármilyen forgási mátrixnál? Majd én megoldom! Próbáljon ki egy másik szöget, vagy még jobb legyen a “cos(θ)” és a “sin(θ)”használata.
Ó, ellenőrizzük legalább az egyik megoldást:
egyezik-e ez?
Ó, igen, igen!
Leave a Reply