e (Euler’ s Number)
az e szám a matematika egyik legfontosabb száma.
az első néhány számjegy:
2.7182818284590452353602874713527 (és több …)
gyakran nevezik Euler-számnak Leonhard Euler után (ejtsd: “Oiler”).
e irracionális szám (nem írható egyszerű frakcióként).
e a természetes logaritmusok alapja (John Napier feltalálta).
e számos érdekes területen megtalálható,ezért érdemes megismerni.
kiszámítása
az e értékének kiszámításának számos módja van,de egyikük sem ad teljesen pontos választ, mert az e irracionális, számjegyei pedig örökre megismétlődnek.
de ismert, hogy több mint 1 billió számjegy pontossággal!
például az (1 + 1/n)n értéke megközelíti az e értéket, mivel n egyre nagyobb lesz:
| n | (1 + 1/n)n |
| 1 | 2.00000 |
| 2 | 2.25000 |
| 5 | 2.48832 |
| 10 | 2.59374 |
| 100 | 2.70481 |
| 1,000 | 2.71692 |
| 10,000 | 2.71815 |
| 100,000 | 2.71827 |
Try it! Put “(1 + 1/100000)^100000” into the calculator:
(1 + 1/100000)100000
What do you get?
egy másik számítás
az e értéke szintén 10! + 11! + 12! + 13! + 14! + 15! + 16! + 17! + … (etc)
(Megjegyzés:”!”azt jelenti, faktoriális)
az első néhány kifejezések összeadódnak: 1 + 1 + 12 + 16 + 124 + 1120 = 2.71666…
valójában maga Euler használta ezt a módszert az e 18 tizedesjegyre történő kiszámításához.
kipróbálhatja magát a Sigma számológépen.
emlékezés
emlékezni az érték e (10 helyen) csak emlékezni ezt a mondást (számold meg a betűket!):
- A
- express
- e
- ne feledje,
- a
- memorizálni
- egy
- mondat
- a
- memorizálni
- ez
Vagy ne feledje, a kíváncsi minta, amely után a “2.7” a szám “1828” KÉTSZER jelenik meg:
2.7 1828 1828
, Majd a következő, HOGY a számjegyek a szög 45°, 90°, 45° – egy derékszögű Egyenlőszárú Háromszög (nem igazi ok, csak, hogy van ez):
2.7 1828 1828 45 90 45
(Egy instant módon úgy tűnik, nagyon okos!)
Growth
e a “természetes” exponenciális függvényben használatos:
F(x) = Ex
Ez a csodálatos tulajdonság: “lejtése az értéke”
bármely ponton az ex meredeksége megegyezik az ex értékével :
amikor x=0, az ex = 1 érték, a meredekség = 1
Ha x=1, az ex = e érték, a meredekség = e
stb…
Ez igaz bárhol ex, és teszi néhány dolgot kalkulus (ahol meg kell találni lejtők) egy egész sokkal könnyebb.
Area
a terület bármely x-értékig egyenlő ex :
érdekes tulajdonság
csak szórakozásból próbálja ki a”Cut Up Then Multiply”
mondjuk, hogy egy számot egyenlő részekre vágunk, majd megszorozzuk ezeket a részeket.
példa: vágj 10-et 2 darabra és szorozd meg őket:
minden “darab” 10/2 = 5 méretű
5×5 = 25
most … hogyan kaphatnánk meg a választ, hogy a lehető legnagyobb legyen,milyen méretű legyen minden darab?
a válasz: tegye az alkatrészeket a lehető legközelebb az “e” mérethez.
példa: 10
a győztes az “e” – hez legközelebb eső szám, ebben az esetben 2.5.
próbálja ki egy másik számmal, mondjuk 100, … mit kapsz?
100 decimális számjegy
itt e-100 decimális számjegy:
2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957
49669676277240766303535475945713821785251664274…
Haladó: az e használata összetett érdeklődésben
gyakran az e szám váratlan helyeken jelenik meg. Mint például a pénzügyekben.
képzelj el egy csodálatos bankot, amely 100% kamatot fizet.
egy év alatt 1000 dollárt 2000 dollárra fordíthat.
képzelje el, hogy a bank évente kétszer fizet, azaz 50% és 50%
félúton az év során $1500,
Az év hátralévő részében újra befekteti, és $1500 $ 2250-ra nő
több pénzt kapott, mert félúton át újra befektetett.
Ez az úgynevezett kamatos kamat.
lehetne még többet kapni, ha hónapokra bontjuk az évet?
ezt a képletet használhatjuk:
(1 + r/n)n
r = éves kamatláb (tizedesjegyként, tehát 1 nem 100%)
n = az éven belüli időszakok száma
féléves példánk:
(1+1/2)2 = 2.25
próbáljuk meg havonta:
(1+1/12)12 = 2.613…
próbáljuk meg évente 10 000 alkalommal:
(1+1/10,000)10,000 = 2.718…
Igen, e felé tart (és így fedezte fel először Jacob Bernoulli).
miért történik ez?
A válasz abban rejlik, hogy a hasonlóság között:
| Összetételéhez Képlet: | (1 + r/n)n | |
| s | ||
| e (n közelít a végtelenhez): | (1 + 1/n) |
A Összetételéhez Képlet nagyon, mint a formula e (n közelít a végtelenhez), csak egy extra r (a kamat).
amikor 100% (= 1 tizedes) kamatlábat választottunk, a képletek ugyanazok lettek.
olvassa el a folyamatos összetételt további információkért.
Euler összetett számokra vonatkozó képlete
e szintén megjelenik ebben a legcsodálatosabb egyenletben:
ein + 1 = 0
tovább itt
transzcendentális
e szintén transzcendentális szám.
Leave a Reply