Le Graphe d’une équation quadratique

Nous savons que toute équation linéaire à deux variables peut s’écrire sous la forme y = mx +b et que son graphe est une droite. Dans cette section, nous verrons que toute équation quadratique de la forme y = ax2 + bx + c a un graphe courbe appelé parabolale graphe de toute équation quadratique y = ax2 + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels et a≠0..

Deux points déterminent n’importe quelle ligne. Cependant, comme une parabole est incurvée, nous devrions trouver plus de deux points. Dans ce texte, nous déterminerons au moins cinq points comme moyen de produire un croquis acceptable. Pour commencer, nous représentons notre première parabole en traçant des points. Étant donné une équation quadratique de la forme y = ax2 + bx + c, x est la variable indépendante et y est la variable dépendante. Choisissez quelques valeurs pour x, puis déterminez les valeurs y correspondantes. Tracez ensuite les points et esquissez le graphique.

Exemple 1 : Graphe en traçant des points : y = x2-2x-3.

Solution : Dans cet exemple, choisissez les valeurs x {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} et calculez les valeurs y correspondantes.

Tracez ces points et déterminez la forme du graphique.

Réponse:

Lors de la représentation graphique, nous voulons inclure certains points spéciaux dans le graphique. L’ordonnée à l’origine est le point où le graphe coupe l’axe des ordonnées. Les interceptions x sont les points où le graphique coupe l’axe des abscisses. Le vertexle point qui définit le minimum ou le maximum d’une parabole. est le point qui définit le minimum ou le maximum du graphique. Enfin, la ligne de symétriquela ligne verticale à travers le sommet, x =-b2a, autour de laquelle la parabole est symétrique. (également appelé l’axe de la symétrieun terme utilisé lors du référencement de la ligne de symétrie.) est la ligne verticale passant par le sommet, autour de laquelle la parabole est symétrique.

Pour toute parabole, nous trouverons le sommet et l’ordonnée à l’origine. De plus, si les interceptions x existent, nous voudrons également les déterminer. Deviner les valeurs x de ces points spéciaux n’est pas pratique; par conséquent, nous développerons des techniques qui faciliteront leur recherche. Beaucoup de ces techniques seront largement utilisées au fur et à mesure que nous progresserons dans notre étude de l’algèbre.

Étant donné une équation quadratique de la forme y = ax2 + bx +c, trouvez l’ordonnée à l’origine en définissant x = 0 et en résolvant. En général, y = a(0) 2 + b(0) + c = c, et nous avons

Ensuite, rappelons que les interceptions x, si elles existent, peuvent être trouvées en définissant y = 0. Pour ce faire, nous avons 0 = a2 + bx + c, qui a des solutions générales données par la formule quadratique, x = −b ±b2−4ac2a. Par conséquent, les interceptions x ont cette forme générale:

En utilisant le fait qu’une parabole est symétrique, nous pouvons déterminer la ligne de symétrie verticale en utilisant les interceptions x. Pour ce faire, nous trouvons la valeur x à mi-chemin entre les interceptions x en prenant une moyenne comme suit:

Par conséquent, la ligne de symétrie est la ligne verticale:

Nous pouvons utiliser la ligne de symétrie pour trouver la valeur x du sommet. Les étapes de représentation graphique d’une parabole sont décrites dans l’exemple suivant.Exemple 2 : Graphique : y =-x2-2x+3.

Solution:

Étape 1: Déterminer l’interception y. Pour ce faire, définissez x= 0 et résolvez y.

L’interception y est (0, 3).

Étape 2 : Déterminer les interceptions x. Pour ce faire, définissez y = 0 et résolvez pour x.

Ici, lorsque y = 0, nous obtenons deux solutions. Il y a deux interceptions x, (-3, 0) et (1,0).

Étape 3: Déterminer le sommet. Une façon de le faire est d’utiliser l’équation de la droite de symétrie, x = −b2a, pour trouver la valeur x du sommet. Dans cet exemple, a =-1 et b =-2:

Remplacez -1 dans l’équation d’origine pour trouver la valeur y correspondante.

Le sommet est (-1,4).

Étape 4: Déterminez des points supplémentaires afin que nous ayons au moins cinq points à tracer. Dans cet exemple, un autre point suffira. Choisissez x =-2 et trouvez la valeur y correspondante.

Our fifth point is (−2, 3).

Step 5: Plot the points and sketch the graph. To recap, the points that we have found are

Answer:

La parabole s’ouvre vers le bas. En général, utilisez le coefficient principal pour déterminer si la parabole s’ouvre vers le haut ou vers le bas. Si le coefficient principal est négatif, comme dans l’exemple précédent, la parabole s’ouvre vers le bas. Si le coefficient principal est positif, la parabole s’ouvre vers le haut.

Toutes les équations quadratiques de la forme y= ax2 + bx +c ont des graphes paraboliques avec l’ordonnée à l’origine (0, c). Cependant, toutes les paraboles n’ont pas d’interceptions x.Exemple 3 : Graphique : y = 2×2 +4x+5.

Solution: Parce que le coefficient principal 2 est positif, notez que la parabole s’ouvre vers le haut. Ici c = 5 et l’ordonnée à l’origine est (0, 5). Pour trouver les interceptions x, définissez y= 0.

Dans ce cas, a=2, b=4 et c=5. Utilisez le discriminant pour déterminer le nombre et le type de solutions.

Puisque le discriminant est négatif, nous concluons qu’il n’y a pas de solutions réelles. Parce qu’il n’y a pas de vraies solutions, il n’y a pas d’interceptions x. Ensuite, nous déterminons la valeur x du sommet.

Étant donné que la valeur x du sommet est -1, remplacez l’équation d’origine pour trouver la valeur y correspondante.

Le sommet est (-1,3). Jusqu’à présent, nous n’avons que deux points. Pour en déterminer trois autres, choisissez des valeurs x de chaque côté de la ligne de symétrie, x =-1. Ici, nous choisissons les valeurs x -3, -2 et 1.

Pour résumer, nous avons

Plot the points and sketch the graph.

Answer:

Example 4: Graph: y=−2×2+12x−18.

Solution: Note that a = −2: the parabola opens downward. Since c = −18, the y-intercept is (0, −18). To find the x-intercepts, set y = 0.

Résoudre par affacturage.

Ici x=3 est une racine double, il n’y a donc qu’une seule interception x, (3, 0). D’après l’équation originale, a =-2, b = 12 et c = -18. La valeur x du sommet peut être calculée comme suit:

Étant donné que la valeur x du sommet est 3, remplacez l’équation d’origine pour trouver la valeur y correspondante.

Par conséquent, le sommet est (3, 0), ce qui se trouve être le même point que l’interception x. Jusqu’à présent, nous n’avons que deux points. Pour en déterminer trois autres, choisissez des valeurs x de chaque côté de la ligne de symétrie, x = 3 dans ce cas. Choisissez les valeurs X 1, 5 et 6.

Pour résumer, nous avons

Tracez les points et esquissez le graphique.

Réponse:

Exemple 5: Graphique: y=x2-2x-1.

Solution : Puisque a =1, la parabole s’ouvre vers le haut. De plus, c = -1, donc l’ordonnée à l’origine est (0, -1). Pour trouver les interceptions x, définissez y= 0.

Dans ce cas, résolvez en utilisant la formule quadratique avec a= 1, b =-2 et c =-1.

Ici, nous obtenons deux solutions réelles pour x, et il y a donc deux interceptions x:

Valeurs approximatives à l’aide d’une calculatrice:

Utilisez les réponses approximatives pour placer la paire ordonnée sur le graphique. Cependant, nous présenterons les interceptions x exactes sur le graphique. Ensuite, trouvez le sommet.