El Gráfico de una Ecuación cuadrática

Sabemos que cualquier ecuación lineal con dos variables puede escribirse en la forma y = mx + b y que su gráfico es una línea. En esta sección, veremos que cualquier ecuación cuadrática de la forma y=ax2+bx+c tiene un gráfico curvado llamado Parabolael gráfico de cualquier ecuación cuadrática y=ax2+bx+c, donde a, b y c son números reales y a≠0..

Dos puntos determinan una línea. Sin embargo, dado que una parábola es curva, debemos encontrar más de dos puntos. En este texto, determinaremos al menos cinco puntos como medio para producir un bosquejo aceptable. Para empezar, graficamos nuestra primera parábola trazando puntos. Dada una ecuación cuadrática de la forma y=ax2 + bx + c, x es la variable independiente y y es la variable dependiente. Elija algunos valores para x y luego determine los valores y correspondientes. A continuación, trace los puntos y dibuje el gráfico.

Ejemplo 1: Gráfico por puntos de trazado: y = x2-2x-3.Solución

: En este ejemplo, elija los valores x{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} y calcular los valores y correspondientes.

Trace estos puntos y determine la forma del gráfico.

Respuesta:

Al graficar, queremos incluir ciertos puntos especiales en el gráfico. La intersección en y es el punto donde la gráfica interseca el eje y. Las intersecciones x son los puntos donde la gráfica interseca el eje x. El vérticOel punto que define el mínimo o el máximo de una parábola. es el punto que define el mínimo o máximo del gráfico. Por último, la línea de simetríala línea vertical a través del vértice, x=−b2a, sobre la cual la parábola es simétrica. (también llamado el término eje de simetría utilizado cuando se hace referencia a la línea de simetría.) es la línea vertical a través del vértice, sobre la cual la parábola es simétrica.

Para cualquier parábola, encontraremos el vértice y la intersección en y. Además, si las intercepciones x existen, entonces también desearemos determinarlas. Adivinar los valores x de estos puntos especiales no es práctico; por lo tanto, desarrollaremos técnicas que facilitarán su búsqueda. Muchas de estas técnicas se utilizarán ampliamente a medida que avanzamos en nuestro estudio del álgebra.

Dada una ecuación cuadrática de la forma y=ax2 + bx + c, encuentre la intersección en y configurando x = 0 y resolviendo. En general, y = a(0)2+b (0)+c=c, y tenemos

A continuación, recuerde que las intercepciones x, si existen, se pueden encontrar configurando y=0. Haciendo esto, tenemos 0 = a2 + bx + c, que tiene soluciones generales dadas por la fórmula cuadrática, x = – b±b2-4ac2a. Por lo tanto, los x-intercepts tienen esta forma general:

Usando el hecho de que una parábola es simétrica, podemos determinar la línea vertical de simetría usando los x-intercepts. Para hacer esto, encontramos el valor x a mitad de camino entre las intercepciones x tomando un promedio de la siguiente manera:

Por lo tanto, la línea de simetría es la línea vertical:

Podemos usar la línea de simetría para encontrar el valor x-valor del vértice. Los pasos para graficar una parábola se describen en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2: Gráfico: y− – x2-2x + 3.

Solución:

Paso 1: Determinar la intersección en y. Para hacer esto, establezca x = 0 y resuelva para y.

La intersección en y es (0, 3).

Paso 2: Determinar las intercepciones x. Para ello, establezca y = 0 y resolver para x.

Aquí cuando y = 0, obtenemos dos soluciones. Hay dos intercepciones x, (-3, 0) y (1, 0).

Paso 3: Determinar el vértice. Una forma de hacer esto es usar la ecuación para la línea de simetría, x = – b2a, para encontrar el valor x del vértice. En este ejemplo, a = -1 y b = -2:

Sustituya -1 en la ecuación original para encontrar el valor y correspondiente.

El vértice es (-1, 4).

Paso 4: Determine los puntos extra para que tengamos al menos cinco puntos para trazar. En este ejemplo, bastará con otro punto. Elija x = -2 y encuentre el valor y correspondiente.

Our fifth point is (−2, 3).

Step 5: Plot the points and sketch the graph. To recap, the points that we have found are

Answer:

La parábola abre hacia abajo. En general, use el coeficiente principal para determinar si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Si el coeficiente inicial es negativo, como en el ejemplo anterior, la parábola se abre hacia abajo. Si el coeficiente inicial es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Todas las ecuaciones cuadráticas de la forma y=ax2+bx+c tienen gráficos parabólicos con intersección en y (0, c). Sin embargo, no todas las parábolas tienen intercepciones x.

Ejemplo 3: Gráfico: y = 2×2 + 4x + 5.

Solución: Debido a que el coeficiente inicial 2 es positivo, tenga en cuenta que la parábola se abre hacia arriba. Aquí c = 5 y la intersección en y es (0, 5). Para encontrar las intercepciones x, establezca y = 0.

En este caso, a = 2, b = 4 y c = 5. Utilice el discriminante para determinar el número y el tipo de soluciones.

Dado que el discriminante es negativo, concluimos que no hay soluciones reales. Debido a que no hay soluciones reales, no hay intercepciones x. A continuación, determinamos el valor x del vértice.

Dado que el valor x del vértice es -1, sustitúyalo en la ecuación original para encontrar el valor y correspondiente.

El vértice es (-1, 3). Hasta ahora, sólo tenemos dos puntos. Para determinar tres más, elija algunos valores x a cada lado de la línea de simetría, x = -1. Aquí elegimos valores x -3, -2 y 1.

en resumen, tenemos

Plot the points and sketch the graph.

Answer:

Example 4: Graph: y=−2×2+12x−18.

Solution: Note that a = −2: the parabola opens downward. Since c = −18, the y-intercept is (0, −18). To find the x-intercepts, set y = 0.

Resolver por factorización.

Aquí x = 3 es una raíz doble, por lo que solo hay una intersección en x, (3, 0). De la ecuación original, a = -2, b = 12 y c = -18. El valor x del vértice se puede calcular de la siguiente manera:

Dado que el valor x del vértice es 3, sustitúyalo en la ecuación original para encontrar el valor y correspondiente.

Por lo tanto, el vértice es (3, 0), que resulta ser el mismo punto que la intersección en x. Hasta ahora, sólo tenemos dos puntos. Para determinar tres más, elija algunos valores x a cada lado de la línea de simetría, x = 3 en este caso. Elija valores x 1, 5 y 6.

en resumen, tenemos

trazar los puntos y un bosquejo de la gráfica.

Respuesta:

Ejemplo 5: Gráfica de: y=x2−2x−1.Solución

: Desde a = 1, la parábola se abre hacia arriba. Además, c = -1, por lo que la intersección en y es (0, -1). Para encontrar las intercepciones x, establezca y = 0.

En este caso, resolver usando la fórmula cuadrática con a = 1, b = -2 y c = -1.

Aquí obtenemos dos soluciones reales de x, y por lo tanto hay dos intersecciones en x:

valores Aproximados usando una calculadora:

Utilice las respuestas aproximadas a colocar el par ordenado en el gráfico. Sin embargo, presentaremos las intersecciones x exactas en el gráfico. A continuación, encuentra el vértice.