Der Graph einer quadratischen Gleichung

Wir wissen, dass jede lineare Gleichung mit zwei Variablen in der Form y=mx+b geschrieben werden kann und dass ihr Graph eine Linie ist. In diesem Abschnitt werden wir sehen, dass jede quadratische Gleichung der Form y=ax2+bx+c einen gekrümmten Graphen hat, der als Parabel bezeichnet wirdder Graph jeder quadratischen Gleichung y= ax2+bx+c, wobei a, b und c reelle Zahlen und a≠0 sind..

Zwei Punkte bestimmen eine beliebige Linie. Da eine Parabel jedoch gekrümmt ist, sollten wir mehr als zwei Punkte finden. In diesem Text werden wir mindestens fünf Punkte als Mittel zur Erstellung einer akzeptablen Skizze festlegen. Um zu beginnen, zeichnen wir unsere erste Parabel, indem wir Punkte zeichnen. Bei einer quadratischen Gleichung der Form y = ax2 + bx + c ist x die unabhängige Variable und y die abhängige Variable. Wählen Sie einige Werte für x und bestimmen Sie dann die entsprechenden y-Werte. Zeichnen Sie dann die Punkte und skizzieren Sie das Diagramm.

Beispiel 1: Diagramm durch Zeichnen von Punkten: y=x2-2x-3.

Lösung: Wählen Sie in diesem Beispiel die x-Werte {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} und berechnen Sie die entsprechenden y-Werte.

Zeichnen Sie diese Punkte und bestimmen Sie die Form des Diagramms.

Antwort:

Bei der Grafik möchten wir bestimmte Sonderpunkte in die Grafik aufnehmen. Der y-Schnittpunkt ist der Punkt, an dem der Graph die y-Achse schneidet. Die x-Abschnitte sind die Punkte, an denen der Graph die x-Achse schneidet. Der Scheitelpunktder Punkt, der das Minimum oder Maximum einer Parabel definiert. ist der Punkt, der das Minimum oder Maximum des Graphen definiert. Schließlich die Symmetrielinie vertikale Linie durch den Scheitelpunkt, x=−b2a, um die die Parabel symmetrisch ist. (auch Symmetrieachse genanntein Begriff, der verwendet wird, wenn auf die Symmetrielinie verwiesen wird.) ist die vertikale Linie durch den Scheitelpunkt, um den die Parabel symmetrisch ist.

Für jede Parabel finden wir den Scheitelpunkt und den y-Schnittpunkt. Zusätzlich, wenn die x-Abschnitte existieren, dann werden wir diese auch bestimmen wollen. Das Erraten der x-Werte dieser speziellen Punkte ist nicht praktikabel; daher werden wir Techniken entwickeln, die das Auffinden erleichtern. Viele dieser Techniken werden ausgiebig genutzt werden, wie wir in unserem Studium der Algebra Fortschritte.

Finden Sie bei einer quadratischen Gleichung der Form y=ax2+bx+c den y-Achsenabschnitt, indem Sie x=0 setzen und lösen. Im Allgemeinen ist y=a(0)2+b(0)+c=c, und wir haben

Denken Sie als nächstes daran, dass die x-Abschnitte, falls vorhanden, durch Setzen von y=0 gefunden werden können. Auf diese Weise haben wir 0=a2+bx+ c, das allgemeine Lösungen hat, die durch die quadratische Formel x=−b±b2−4ac2a gegeben sind. Daher haben die x-Abschnitte diese allgemeine Form:

Anhand der Tatsache, dass eine Parabel symmetrisch ist, können wir die vertikale Symmetrielinie anhand der x-Abschnitte bestimmen. Um dies zu tun, finden wir den x-Wert in der Mitte zwischen den x-Abschnitten, indem wir einen Durchschnitt wie folgt nehmen:

Daher ist die Symmetrielinie die vertikale Linie:

Wir können die Symmetrielinie verwenden, um den x-Wert des Scheitelpunkts zu finden. Die Schritte zum grafischen Darstellen einer Parabel werden im folgenden Beispiel beschrieben.

Beispiel 2: Graph: y=-x2-2x+3.

Lösung:

Schritt 1: Bestimmen Sie den Y-Achsenabschnitt. Setzen Sie dazu x = 0 und lösen Sie nach y.

Der y-Schnittpunkt ist (0, 3).

Schritt 2: Bestimmen Sie die x-Abschnitte. Setzen Sie dazu y = 0 und lösen Sie nach x.

Wenn y = 0 ist, erhalten wir hier zwei Lösungen. Es gibt zwei x-Abschnitte, (-3, 0) und (1, 0).

Schritt 3: Bestimmen Sie den Scheitelpunkt. Eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, die Gleichung für die Symmetrielinie x = −b2a zu verwenden, um den x-Wert des Scheitelpunkts zu ermitteln. In diesem Beispiel ist a = -1 und b = -2:

Setzen Sie -1 in die ursprüngliche Gleichung ein, um den entsprechenden y-Wert zu finden.

Der Scheitelpunkt ist (-1, 4).

Schritt 4: Bestimmen Sie zusätzliche Punkte, damit wir mindestens fünf Punkte zeichnen können. In diesem Beispiel genügt ein weiterer Punkt. Wählen Sie x = -2 und suchen Sie den entsprechenden y-Wert.

Our fifth point is (−2, 3).

Step 5: Plot the points and sketch the graph. To recap, the points that we have found are

Answer:

Die Parabel öffnet sich nach unten. Verwenden Sie im Allgemeinen den führenden Koeffizienten, um zu bestimmen, ob sich die Parabel nach oben oder nach unten öffnet. Wenn der führende Koeffizient wie im vorherigen Beispiel negativ ist, öffnet sich die Parabel nach unten. Wenn der führende Koeffizient positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben.

Alle quadratischen Gleichungen der Form y=ax2+bx+c haben parabolische Graphen mit y-Achsenabschnitt (0, c). Allerdings haben nicht alle Parabeln x-Abschnitte.

Beispiel 3: Graph: y=2×2+4x+5.

Lösung: Da der führende Koeffizient 2 positiv ist, beachten Sie, dass sich die Parabel nach oben öffnet. Hier ist c = 5 und der y-Achsenabschnitt ist (0, 5). Um die x-Abschnitte zu finden, setzen Sie y = 0.

In diesem Fall ist a = 2, b = 4 und c = 5. Verwenden Sie die Diskriminante, um die Anzahl und den Typ der Lösungen zu bestimmen.

Da die Diskriminante negativ ist, schließen wir daraus, dass es keine wirklichen Lösungen gibt. Weil es keine wirklichen Lösungen gibt, gibt es keine X-Intercepts. Als nächstes bestimmen wir den x-Wert des Scheitelpunkts.

Da der x-Wert des Scheitelpunkts -1 ist, ersetzen Sie die ursprüngliche Gleichung, um den entsprechenden y-Wert zu finden.

Der Scheitelpunkt ist (-1, 3). Bisher haben wir nur zwei Punkte. Um drei weitere zu bestimmen, wählen Sie einige x-Werte auf beiden Seiten der Symmetrielinie, x = -1. Hier wählen wir die x-Werte -3, -2 und 1.

Zusammenfassend haben wir

Plot the points and sketch the graph.

Answer:

Example 4: Graph: y=−2×2+12x−18.

Solution: Note that a = −2: the parabola opens downward. Since c = −18, the y-intercept is (0, −18). To find the x-intercepts, set y = 0.

Durch Factoring lösen.

Hier ist x = 3 eine doppelte Wurzel, es gibt also nur einen x-Schnittpunkt (3, 0). Aus der ursprünglichen Gleichung a = -2, b = 12 und c = -18. Der x-Wert des Scheitelpunkts kann wie folgt berechnet werden:

Da der x-Wert des Scheitelpunkts 3 ist, ersetzen Sie die ursprüngliche Gleichung, um den entsprechenden y-Wert zu finden.

Daher ist der Scheitelpunkt (3, 0), was zufällig derselbe Punkt wie der x-Schnittpunkt ist. Bisher haben wir nur zwei Punkte. Um drei weitere zu bestimmen, wählen Sie einige x-Werte auf beiden Seiten der Symmetrielinie, in diesem Fall x = 3. Wählen Sie die x-Werte 1, 5 und 6.

Zusammenfassend haben wir

Zeichnen Sie die Punkte und skizzieren Sie das Diagramm.

Antwort:

Beispiel 5: Graph: y=x2−2x−1.

Lösung: Da a = 1 ist, öffnet sich die Parabel nach oben. Außerdem ist c = -1, also ist der y-Schnittpunkt (0, -1). Um die x-Abschnitte zu finden, setzen Sie y = 0.

Lösen Sie in diesem Fall mit der quadratischen Formel mit a = 1, b = -2 und c = -1.

Hier erhalten wir zwei reale Lösungen für x, und somit gibt es zwei x-Abschnitte:

Ungefähre Werte mit einem Taschenrechner:

Verwenden Sie die ungefähren Antworten, um das geordnete Paar in der Grafik zu platzieren. Wir werden jedoch die genauen x-Abschnitte in der Grafik darstellen. Suchen Sie als nächstes den Scheitelpunkt.