grafen för en kvadratisk ekvation

vi vet att någon linjär ekvation med två variabler kan skrivas i formen y=mx+b och att dess graf är en linje. I det här avsnittet kommer vi att se att någon kvadratisk ekvation av formen y=ax2+bx+c har en krökt graf som kallas en parabolagrafen av någon kvadratisk ekvation y=ax2+bx+c, där A, b och c är reella tal och en 0..

två punkter bestämmer vilken rad som helst. Men eftersom en parabola är böjd bör vi hitta mer än två punkter. I denna text kommer vi att bestämma minst fem punkter som ett sätt att producera en acceptabel skiss. Till att börja med ritar vi vår första parabola genom att plotta punkter. Med tanke på en kvadratisk ekvation av formen y=ax2+bx+c är x den oberoende variabeln och y är den beroende variabeln. Välj några värden för x och bestäm sedan motsvarande y-värden. Rita sedan punkterna och skissa grafen.

exempel 1: graf genom att plotta punkter: y=x2-2x-3.

lösning: i det här exemplet väljer du X-värdena {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} och beräkna motsvarande y-värden.

rita dessa punkter och bestämma formen på grafen.

svar:

När vi grafer vill vi inkludera vissa specialpunkter i diagrammet. Y-avlyssningen är den punkt där grafen skär y-axeln. X-avlyssningarna är de punkter där grafen skär x-axeln. Vertexenden punkt som definierar minsta eller maximala parabolen. är den punkt som definierar lägsta eller högsta grafen. Slutligen symmetrilinjenden vertikala linjen genom vertexen, x= – b2a, om vilken parabolen är symmetrisk. (även kallad symmetriaxelen term som används vid hänvisning till symmetrilinjen.) är den vertikala linjen genom vertexen, kring vilken parabolen är symmetrisk.

för någon parabola hittar vi vertex och y-intercept. Dessutom, om x-avlyssningarna finns, vill vi också bestämma dem. Gissa på x-värdena för dessa speciella punkter är inte praktiskt; därför kommer vi att utveckla tekniker som underlättar att hitta dem. Många av dessa tekniker kommer att användas i stor utsträckning när vi utvecklas i vår studie av algebra.

givet en kvadratisk ekvation av formen y=ax2 + bx + c, hitta y-avlyssningen genom att ställa in x = 0 och lösa. I allmänhet y=a(0)2+b(0)+c=c, och vi har

Kom ihåg att x-avlyssningarna, om de finns, kan hittas genom att ställa in y = 0. Genom att göra detta har vi 0=A2+bx+c, som har allmänna lösningar som ges av den kvadratiska formeln, x=−B kubi b2−4ac2a. Därför har x-avlyssningarna denna allmänna form:

med hjälp av det faktum att en parabola är symmetrisk kan vi bestämma den vertikala symmetrilinjen med hjälp av x-avlyssningarna. För att göra detta hittar vi x-värdet halvvägs mellan x-avlyssningarna genom att ta ett medelvärde enligt följande:

därför är symmetrilinjen den vertikala linjen:

Vi kan använda symmetrilinjen för att hitta x-värdet värdet på vertexen. Stegen för att rita en parabola beskrivs i följande exempel.

exempel 2: Graf: y= – x2-2x + 3.

lösning:

Steg 1: Bestäm y-avlyssningen. För att göra detta, ställ in x = 0 och lösa för y.

y-avlyssningen är (0, 3).

steg 2: Bestäm x-avlyssningarna. För att göra detta ställer du in y = 0 och löser för x.

här när y = 0 får vi två lösningar. Det finns två x-avlyssningar, (-3, 0) och (1, 0).

steg 3: Bestäm vertexen. Ett sätt att göra detta är att använda ekvationen för symmetrilinjen, x=−b2a, för att hitta x-värdet på vertexen. I det här exemplet ersätter A = -1 och b = -2:

-1 i den ursprungliga ekvationen för att hitta motsvarande y-värde.

vertexen är (-1, 4).

steg 4: Bestäm extra poäng så att vi har minst fem poäng att plotta. I det här exemplet räcker en annan punkt. Välj x = -2 och hitta motsvarande y-värde.

Our fifth point is (−2, 3).

Step 5: Plot the points and sketch the graph. To recap, the points that we have found are

Answer:

parabolen öppnas nedåt. Använd i allmänhet den ledande koefficienten för att avgöra om parabolen öppnas uppåt eller nedåt. Om den ledande koefficienten är negativ, som i föregående exempel, öppnas parabolen nedåt. Om den ledande koefficienten är positiv öppnas parabolen uppåt.

alla kvadratiska ekvationer av formen y=ax2+bx+c har paraboliska grafer med y-intercept (0, c). Men inte alla paraboler har x-avlyssningar.

exempel 3: Graf: y=2×2+4x + 5.

lösning: Eftersom den ledande koefficienten 2 är positiv, notera att parabolen öppnas uppåt. Här är c = 5 och y-avlyssningen (0, 5). För att hitta x-intercepts, Ställ in y = 0.

i detta fall A = 2, b = 4 och c = 5. Använd diskriminanten för att bestämma antal och typ av lösningar.

eftersom diskriminanten är negativ drar vi slutsatsen att det inte finns några verkliga lösningar. Eftersom det inte finns några riktiga lösningar finns det inga x-intercepts. Därefter bestämmer vi x-värdet på vertexen.

Med tanke på att x-värdet på vertexen är -1, ersätt i den ursprungliga ekvationen för att hitta motsvarande y-värde.

vertexen är (-1, 3). Hittills har vi bara två punkter. För att bestämma ytterligare tre, Välj några x-värden på vardera sidan av symmetrilinjen, x = -1. Här väljer vi x-värden -3, -2 och 1.

för att sammanfatta har vi

Plot the points and sketch the graph.

Answer:

Example 4: Graph: y=−2×2+12x−18.

Solution: Note that a = −2: the parabola opens downward. Since c = −18, the y-intercept is (0, −18). To find the x-intercepts, set y = 0.

Lös genom factoring.

här är x = 3 en dubbel rot, så det finns bara en x-intercept, (3, 0). Från den ursprungliga ekvationen, a = -2, b = 12 och c = -18. X-värdet på vertexen kan beräknas enligt följande:

Med tanke på att x-värdet på vertexen är 3, ersätt i den ursprungliga ekvationen för att hitta motsvarande y-värde.

därför är vertexen (3, 0), som råkar vara samma punkt som x-intercept. Hittills har vi bara två punkter. För att bestämma ytterligare tre, Välj några x-värden på vardera sidan av symmetrilinjen, x = 3 i det här fallet. Välj x-värden 1, 5 och 6.

för att sammanfatta har vi

rita punkterna och skissa grafen.

svar:

exempel 5: Graf: y=x2−2x−1.

lösning: sedan A = 1 öppnas parabolen uppåt. Dessutom c = -1, så y-avlyssningen är (0, -1). För att hitta x-intercepts, Ställ in y = 0.

i det här fallet löser du med den kvadratiska formeln med a = 1, b = -2 och c = -1.

Här får vi två verkliga lösningar för x, och därmed finns det två x-avlyssningar:

ungefärliga värden med hjälp av en kalkylator:

använd de ungefärliga svaren för att placera det beställda paret i diagrammet. Vi kommer dock att presentera de exakta X-avlyssningarna på grafen. Hitta sedan vertexen.