graficul unei ecuații pătratice

știm că orice ecuație liniară cu două variabile poate fi scrisă sub forma y=mx+b și că graficul său este o linie. În această secțiune, vom vedea că orice ecuație pătratică a formei y = ax2 + bx + c are un grafic curbat numit parabolagraficul oricărei ecuații pătratice y = ax2+bx+c, unde A, b și c sunt numere reale și un 0..

două puncte determină orice linie. Cu toate acestea, deoarece o parabolă este curbată, ar trebui să găsim mai mult de două puncte. În acest text, vom determina cel puțin cinci puncte ca mijloc de a produce o schiță acceptabilă. Pentru început, graficăm prima noastră parabolă prin trasarea punctelor. Având în vedere o ecuație pătratică a formei y = ax2 + bx + c, x este variabila independentă și y este variabila dependentă. Alegeți câteva valori pentru x și apoi determinați valorile y corespunzătoare. Apoi trasați punctele și schițați graficul.

Exemplul 1: grafic prin trasarea punctelor: y=x2−2x−3.

soluție: în acest exemplu, alegeți valorile x{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} și calculați valorile y corespunzătoare.

trasați aceste puncte și determinați forma graficului.

răspuns:

când graficăm, dorim să includem anumite puncte speciale în grafic. Interceptarea y este punctul în care graficul intersectează axa Y. Interceptările x sunt punctele în care graficul intersectează axa X. Vertexpunctul care definește minimul sau maximul unei parabole. este punctul care definește minimul sau maximul graficului. În cele din urmă, linia de simetrielinia verticală prin vârf, x=−b2a, despre care parabola este simetrică. (numită și axa simetrieiun termen folosit atunci când se face referire la linia de simetrie.) este linia verticală prin vârf, despre care parabola este simetrică.

pentru orice parabolă, vom găsi vârful și Y-intercepta. În plus, dacă există interceptări x, atunci vom dori să le determinăm și pe acestea. Ghicitul la valorile x ale acestor puncte speciale nu este practic; prin urmare, vom dezvolta tehnici care vor facilita găsirea lor. Multe dintre aceste tehnici vor fi utilizate pe scară largă pe măsură ce progresăm în studiul nostru de algebră.

având în vedere o ecuație pătratică a formei y = ax2 + bx + c, găsiți interceptarea y prin setarea x = 0 și rezolvarea. În general, y = a(0)2+b(0)+c=c și avem

în continuare, reamintim că interceptările x, dacă există, pot fi găsite prin setarea y=0. Făcând acest lucru, avem 0=A2+bx+c, care are soluții generale date de formula pătratică, x=−b b2−4ac2a. Prin urmare, interceptările x au această formă generală:

folosind faptul că o parabolă este simetrică, putem determina linia verticală de simetrie folosind interceptările X. Pentru a face acest lucru, găsim valoarea x la jumătatea distanței dintre interceptările x luând o medie după cum urmează:

prin urmare, linia de simetrie este linia verticală:

putem folosi linia de simetrie pentru a găsi valoarea vertexului. Pașii pentru graficarea unei parabole sunt prezentați în exemplul următor.

Exemplul 2: Grafic: y=−x2−2x+3.

soluție:

Pasul 1: Determinați interceptarea Y. Pentru a face acest lucru, setați x = 0 și rezolvați pentru y.

interceptarea y este (0, 3).

Pasul 2: determinați interceptările X. Pentru a face acest lucru, setați y = 0 și rezolvați pentru x.

aici când y = 0, obținem două soluții. Există două interceptări x, (-3, 0) și (1, 0).

Pasul 3: determinați vârful. O modalitate de a face acest lucru este să folosiți ecuația pentru linia de simetrie, x=−b2a, pentru a găsi valoarea x a vârfului. În acest exemplu, a = -1 și b=-2:

înlocuiți -1 în ecuația originală pentru a găsi valoarea y corespunzătoare.

vertexul este (-1, 4).

Pasul 4: determinați puncte suplimentare, astfel încât să avem cel puțin cinci puncte de complot. În acest exemplu, un alt punct va fi suficient. Alegeți x = -2 și găsiți valoarea y corespunzătoare.

Our fifth point is (−2, 3).

Step 5: Plot the points and sketch the graph. To recap, the points that we have found are

Answer:

parabola se deschide în jos. În general, utilizați coeficientul principal pentru a determina dacă parabola se deschide în sus sau în jos. Dacă coeficientul de conducere este negativ, ca în exemplul anterior, atunci parabola se deschide în jos. Dacă coeficientul de conducere este pozitiv, atunci parabola se deschide în sus.

toate ecuațiile pătratice de forma y=ax2+bx+c au grafice parabolice cu y-intercept (0, c). Cu toate acestea, nu toate parabolele au interceptări X.

Exemplul 3: Grafic: y=2×2+4x+5.

soluție: Deoarece coeficientul de conducere 2 este pozitiv, rețineți că parabola se deschide în sus. Aici c = 5 și interceptarea y este (0, 5). Pentru a găsi interceptările x, setați y = 0.

În acest caz, a = 2, b = 4 și C = 5. Utilizați discriminantul pentru a determina numărul și tipul de soluții.

deoarece discriminantul este negativ, concluzionăm că nu există soluții reale. Pentru că nu există soluții reale, nu există interceptări X. Apoi, determinăm valoarea x a vârfului.

având în vedere că valoarea X a vârfului este -1, înlocuiți în ecuația originală pentru a găsi valoarea y corespunzătoare.

vertexul este (-1, 3). Până acum, avem doar două puncte. Pentru a determina încă trei, alegeți câteva valori x de ambele părți ale liniei de simetrie, x = -1. Aici alegem valorile x-3, -2 și 1.

pentru a rezuma, avem

Plot the points and sketch the graph.

Answer:

Example 4: Graph: y=−2×2+12x−18.

Solution: Note that a = −2: the parabola opens downward. Since c = −18, the y-intercept is (0, −18). To find the x-intercepts, set y = 0.

rezolva prin factoring.

aici x = 3 este o rădăcină dublă, deci există o singură x-interceptare, (3, 0). Din ecuația inițială, a = -2, b = 12 și c = -18. Valoarea X a vertexului poate fi calculată după cum urmează:

având în vedere că valoarea X a vertexului este 3, Înlocuiți în ecuația originală pentru a găsi valoarea y corespunzătoare.

prin urmare, vârful este (3, 0), care se întâmplă să fie același punct cu X-intercept. Până acum, avem doar două puncte. Pentru a determina încă trei, alegeți câteva valori x de ambele părți ale liniei de simetrie, x = 3 în acest caz. Alegeți valorile x 1, 5 și 6.

pentru a rezuma, avem

trasați punctele și schițați graficul.

răspuns:

exemplul 5: Grafic: y=x2−2x−1.

soluție: deoarece a = 1, parabola se deschide în sus. Mai mult, c = -1, deci interceptarea y este (0, -1). Pentru a găsi interceptările x, setați y = 0.

în acest caz, rezolvați folosind formula pătratică cu a = 1, b = -2 și c = -1.

aici obținem două soluții reale pentru x și astfel există două interceptări x:

valori aproximative folosind un calculator:

utilizați răspunsurile aproximative pentru a plasa perechea ordonată pe grafic. Cu toate acestea, vom prezenta exact interceptările x pe grafic. Apoi, găsiți vârful.