Rational Exponents

Learning Objective(s)

· Convert radicals to expressions with rational exponents.

· Convert expressions with rational exponents to their radical equivalent.

· Use the laws of exponents to simplify expressions with rational exponents.

· Use rational exponents to simplify radical expressions.

firkantede rødder skrives oftest ved hjælp af et radikalt tegn, som dette,. Men der er en anden måde at repræsentere at tage en rod på. Du kan bruge rationelle eksponenter i stedet for en radikal. En rationel eksponent er en eksponent, der er en brøkdel. For eksempel kan skrives som .

kan du ikke forestille dig at hæve et tal til en rationel eksponent? De kan være svære at vænne sig til, men rationelle eksponenter kan faktisk hjælpe med at forenkle nogle problemer. Lad os undersøge forholdet mellem rationelle (fraktionerede) eksponenter og radikaler.

radikaler og fraktionerede eksponenter er alternative måder at udtrykke det samme på. Du har allerede set, hvordan firkantede rødder kan udtrykkes som en eksponent for halvdelen.

Let’s look at some more examples, but this time with cube roots. Husk, at kubering af et tal hæver det til kraften på tre. Bemærk, at i disse eksempler er nævneren for den rationelle eksponent tallet 3.

These examples help us model a relationship between radicals and rationelle eksponenter: nemlig at den nte rod af et tal kan skrives som enten eller .

When faced with an udtryk indeholdende en rationel eksponent, du kan omskrive den ved hjælp af en radikal. I tabellen ovenfor skal du bemærke, hvordan nævneren for den rationelle eksponent bestemmer rodindekset. Så en eksponent for oversætter til kvadratroden, en eksponent for oversætter til den femte rod eller og oversætter til den ottende rod eller .

husk, at eksponenter kun henviser til mængden straks til deres venstre, medmindre der bruges et grupperingssymbol. Eksemplet nedenfor ligner meget det foregående eksempel med en vigtig forskel—der er ingen parenteser! Se hvad der sker.

Just as you can rewrite an expression with a rational exponent as a radical expression, you can express a radical expression using a rational exponent.

alle tællerne for de fraktionerede eksponenter i eksemplerne ovenfor var 1. Du kan bruge fraktionerede eksponenter, der har andre tællere end 1 til at udtrykke rødder, som vist nedenfor. Bemærk nogen mønstre i denne tabel?

for at omskrive en radikal ved hjælp af en fraktioneret eksponent bliver den kraft, som radikanten hæves til, tælleren, og roden bliver nævneren.

skrivning fraktionelle eksponenter

enhver radikal i formularen kan skrives ved hjælp af en fraktioneret eksponent i formularen.

forholdet mellemog arbejder for rationelle eksponenter, der også har en tæller på 1. For eksempel kan den radikale også skrives som , da ethvert tal forbliver den samme værdi, hvis det hæves til den første effekt. Du kan nu se, hvor tælleren på 1 kommer fra i den tilsvarende form af .

lad os udforske nogle radikale udtryk nu og se, hvordan man forenkler dem. Her er et radikalt udtryk, der skal forenkles, .

en metode til at forenkle dette udtryk er at faktorere og trække grupper af a3 ud, som vist nedenfor i dette eksempel.

Du kan også forenkle dette udtryk ved at tænke på det radikale som et udtryk med en rationel eksponent og bruge princippet om, at enhver radikal i formularen kan skrives ved hjælp af en fraktioneret eksponent i formularen .

Note that rational exponents are subject to all of the same rules as other exponents when they appear in algebraic expressions.

begge forenklingsmetoder gav det samme resultat, a2. Afhængigt af problemets sammenhæng kan det være lettere at bruge den ene eller den anden metode, men for nu vil du bemærke, at du var i stand til at forenkle dette udtryk hurtigere ved hjælp af rationelle eksponenter end ved brug af “pull-out” – metoden.

lad os prøve et andet eksempel.

igen er den alternative metode at arbejde på at forenkle under radikalen ved hjælp af factoring. For det eksempel, du lige har løst, ser det sådan ud.

Which of the expressions below is equal to the expression when written using a rational exponent?

A)

B)

C)

D)

lad os prøve et mere kompliceret udtryk, . Dette udtryk har to variabler, en brøkdel og en radikal. Lad os tage det trin for trin og se, om brug af fraktionerede eksponenter kan hjælpe os med at forenkle det.

lad os starte med at forenkle nævneren, da det er her Det Radikale tegn er placeret.

Nå, det tog et stykke tid, men du gjorde det. Du anvendte det, du ved om fraktionerede eksponenter, negative eksponenter og reglerne for eksponenter for at forenkle udtrykket.

en radikal kan udtrykkes som et udtryk med en fraktioneret eksponent ved at følge konventionen. Omskrivning af radikaler ved hjælp af fraktionerede eksponenter kan være nyttigt til at forenkle nogle radikale udtryk. Når du arbejder med fraktionerede eksponenter, skal du huske, at fraktionerede eksponenter er underlagt alle de samme regler som andre eksponenter, når de vises i algebraiske udtryk.