Wykres równania kwadratowego

wiemy, że każde równanie liniowe z dwiema zmiennymi można zapisać w postaci y=mx + b i że jego wykres jest linią. W tej sekcji zobaczymy, że każde równanie kwadratowe postaci y = ax2 + bx + c ma zakrzywiony Wykres zwany parabolą wykres dowolnego równania kwadratowego y = ax2 + bx + c, gdzie A, b I c są liczbami rzeczywistymi i A≠0..

dwa punkty określają dowolną linię. Ponieważ jednak parabola jest zakrzywiona, powinniśmy znaleźć więcej niż dwa punkty. W tym tekście określimy co najmniej pięć punktów jako sposób na stworzenie akceptowalnego szkicu. Na początek narysujemy naszą pierwszą parabolę wykreślając punkty. Biorąc pod uwagę równanie kwadratowe postaci y = ax2+bx + c, x jest zmienną niezależną, a y zmienną zależną. Wybierz kilka wartości dla x, a następnie określ odpowiednie wartości y. Następnie narysuj punkty i szkicuj Wykres.

przykład 1: Wykres wykreślając punkty: y=x2−2x−3.

rozwiązanie: w tym przykładzie wybierz wartości x{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} i obliczyć odpowiednie wartości y.

narysuj te punkty i określ kształt wykresu.

odpowiedź:

podczas tworzenia wykresu chcemy uwzględnić pewne specjalne punkty na wykresie. Punkt przecięcia osi Y jest punktem, w którym wykres przecina oś Y. Przechwyty x to punkty, w których Wykres przecina oś X. Wierzchołekpunkt określający minimum lub maksimum paraboli. jest punktem, który określa minimum lub maksimum wykresu. Wreszcie, linia symetrycznapierwsza linia przechodząca przez wierzchołek, x= – b2a, wokół której parabola jest symetryczna. (zwany także osią symetrii termin używany w odniesieniu do linii symetrii.) jest pionową linią przechodzącą przez wierzchołek, wokół której parabola jest symetryczna.

dla każdej paraboli znajdziemy wierzchołek i punkt przecięcia osi Y. Ponadto, jeśli istnieją x-Przechwyty, będziemy chcieli je również określić. Zgadywanie wartości x tych punktów specjalnych nie jest praktyczne; dlatego będziemy rozwijać techniki, które ułatwią ich odnalezienie. Wiele z tych technik będzie szeroko stosowane w miarę postępów w nauce algebry.

biorąc pod uwagę równanie kwadratowe postaci y = ax2 + bx + c, znajdź punkt przecięcia y, ustawiając x=0 i rozwiązując. Ogólnie rzecz biorąc, y = a(0) 2+b (0)+c=c, i mamy

następnie przypomnijmy, że przechwytywanie x, jeśli istnieje, można znaleźć przez ustawienie y=0. Robiąc to, mamy 0=A2 + bx + c, który ma ogólne rozwiązania podane przez kwadratowy wzór, x = – B±B2-4ac2a. W związku z tym Przechwyty x mają tę ogólną formę:

korzystając z faktu, że parabola jest symetryczna, możemy określić pionową linię symetrii za pomocą przechwytów X. Aby to zrobić, znajdujemy wartość x w połowie drogi między przechwytami x, przyjmując średnią w następujący sposób:

dlatego linią symetrii jest linia pionowa:

możemy użyć linii symetrii, aby znaleźć x-wartość wierzchołka. Kroki dla wykresu parabola są przedstawione w poniższym przykładzie.

przykład 2: Wykres: y = −x2-2x+3.

rozwiązanie:

Krok 1: określ punkt przecięcia osi y. Aby to zrobić, ustaw x = 0 i rozwiąż y.

punkt przecięcia osi y to (0, 3).

Krok 2: Określ Przechwyty X. Aby to zrobić, ustaw y = 0 i rozwiąż x.

tutaj, gdy y = 0, otrzymujemy dwa rozwiązania. Istnieją dwa x-Przechwyty, (-3, 0) i (1, 0).

Krok 3: Określ wierzchołek. Jednym ze sposobów jest użycie równania dla linii symetrii, x= – b2a, aby znaleźć wartość X wierzchołka. W tym przykładzie, a = -1 i b = -2:

Zastąp -1 w oryginalnym równaniu, aby znaleźć odpowiednią wartość y.

wierzchołek to (-1, 4).

Krok 4: Określ dodatkowe punkty, abyśmy mieli co najmniej pięć punktów do wykreślenia. W tym przykładzie wystarczy jeszcze jeden punkt. Wybierz x = -2 i znajdź odpowiednią wartość y.

Our fifth point is (−2, 3).

Step 5: Plot the points and sketch the graph. To recap, the points that we have found are

Answer:

parabola otwiera się w dół. Ogólnie rzecz biorąc, użyj współczynnika wiodącego, aby określić, czy parabola otwiera się w górę, czy w dół. Jeśli współczynnik wiodący jest ujemny, jak w poprzednim przykładzie, parabola otwiera się w dół. Jeśli współczynnik wiodący jest dodatni, parabola otwiera się w górę.

wszystkie równania kwadratowe postaci y=ax2+bx+c mają wykresy paraboliczne z przecięciem y (0, c). Jednak nie wszystkie parabole mają Przechwyty X.

przykład 3: Wykres: y = 2×2+4x + 5.

rozwiązanie: Ponieważ współczynnik wiodący 2 jest dodatni, należy zauważyć, że parabola otwiera się w górę. Tutaj C = 5 i punkt przecięcia osi y wynosi (0, 5). Aby znaleźć x-Przechwyty, Ustaw y = 0.

w tym przypadku a = 2, b = 4 i c = 5. Użyj rozróżniacza, aby określić liczbę i rodzaj rozwiązań.

Ponieważ dyskryminacja jest ujemna, wnioskujemy, że nie ma rzeczywistych rozwiązań. Ponieważ nie ma realnych rozwiązań, nie ma przechwytywania X. Następnie określamy wartość X wierzchołka.

biorąc pod uwagę, że wartość X wierzchołka wynosi -1, zastąp do oryginalnego równania, aby znaleźć odpowiednią wartość y.

wierzchołek to (-1, 3). Do tej pory mamy tylko dwa punkty. Aby wyznaczyć trzy kolejne, wybierz wartości x po obu stronach linii symetrii, x = -1. Tutaj wybieramy wartości x -3, -2 i 1.

podsumowując, mamy

Plot the points and sketch the graph.

Answer:

Example 4: Graph: y=−2×2+12x−18.

Solution: Note that a = −2: the parabola opens downward. Since c = −18, the y-intercept is (0, −18). To find the x-intercepts, set y = 0.

tutaj x = 3 jest podwójnym pierwiastkiem, więc istnieje tylko jeden punkt przecięcia x (3, 0). Z pierwotnego równania: a = -2, b = 12 i c = -18. Wartość X wierzchołka można obliczyć w następujący sposób:

biorąc pod uwagę, że wartość X wierzchołka wynosi 3, zastąp do oryginalnego równania, aby znaleźć odpowiednią wartość y.

dlatego wierzchołek jest (3, 0), który jest tym samym punktem co punkt przecięcia X. Do tej pory mamy tylko dwa punkty. Aby wyznaczyć trzy kolejne, wybierz wartości x po obu stronach linii symetrii, w tym przypadku x = 3. Wybierz wartości x 1, 5 i 6.

podsumowując, mamy

narysuj punkty i narysuj wykres.

odpowiedź:

przykład 5: Wykres: y=x2−2x−1.

rozwiązanie: od a = 1 parabola otwiera się w górę. Ponadto C = -1, więc punkt przecięcia osi y wynosi (0, -1). Aby znaleźć x-Przechwyty, Ustaw y = 0.

w tym przypadku rozwiąż równanie kwadratowe z a = 1, b = -2 i c = -1.

tutaj otrzymujemy dwa rzeczywiste rozwiązania dla x, a zatem istnieją dwa przechwyty x:

przybliżone wartości za pomocą kalkulatora:

użyj przybliżonych odpowiedzi, aby umieścić uporządkowaną parę na wykresie. Jednak na wykresie przedstawimy dokładne x-Przechwyty. Następnie znajdź wierzchołek.