velformede objekterredit

Hvis en samling af objekter (symboler og symbolsekvenser) skal betragtes som “velformet”, skal der findes en algoritme for at bestemme, ved at stoppe med et “ja” eller “nej” svar, om objektet er velformet (i matematik forkortes en VFF velformet formel). Denne algoritme kan i det ekstreme kræve (eller være) en Turing-maskine eller Turing-ækvivalent maskine, der “analyserer” symbolstrengen som præsenteret som “data” på båndet; før en universal Turing-maskine kan udføre en instruktion på båndet, skal den analysere symbolerne for at bestemme den nøjagtige karakter af instruktionen og/eller datum kodet der. I enklere tilfælde kan en endelig tilstandsmaskine eller en push-ned-automat gøre jobbet. Enderton beskriver brugen af” træer ” for at bestemme, om en logisk formel (især en række symboler med parenteser) er velformet. Alonso Kirke 1934 beskriver opførelsen af “formler “(igen: sekvenser af symboler) som skrevet i hans kur-calculus ved hjælp af en rekursiv beskrivelse af, hvordan man starter en formel og derefter bygger på startsymbolet ved hjælp af sammenkædning og substitution.

eksempel: kirken specificerede sin Kris-beregning som følger (følgende er forenklet version, der udelader forestillinger om fri – og bundet-variabel). Dette eksempel viser, hvordan en objektteori begynder med en specifikation af et objektsystem af symboler og relationer (især ved brug af sammenkædning af symboler):

(1) erklære symbolerne: {, }, (, ), kur, plus et uendeligt antal variabler a, b, c, …, s,… (2) Definer formel: en sekvens af symboler (3) definerer begrebet “velformet formel” rekursivt startende med “basis” (3.i):

• (3.1) (basis) en variabel er en variabel
• (3.2) hvis F og H er en variabel, så er {f}(H) en variabel; hvis der forekommer i F eller H, siges det at være en variabel i {F}(H).
• (3.3) hvis M er velformet, og der forekommer H I M, er Hr.

(4) Definer forskellige forkortelser:

• {f} forkortes til F(H) hvis F er et enkelt symbol
• F {\displaystyle {{F}}}
  

  forkortes til {F} (H,Y) eller F (H,Y) hvis F er et enkelt symbol

• H1 H2…] forkortes til kr1h2…* A(B) forkortes til 1
• lirab•A(A (b)) forkortes til 2 osv.

(5) Definer begrebet “substitution” af formel N for variabel h i hele M (Kirke 1936)

udefinerede (primitive) objekterrediger

visse objekter kan være “udefinerede” eller “primitive” og modtage definition (i form af deres adfærd) ved indførelsen af aksiomerne.

i det næste eksempel vil de udefinerede symboler være {list, list, list }. Aksiomerne vil beskrive deres adfærd.

Aksiomredit

Kleene bemærker, at aksiomerne består af to sæt symboler: (i) de udefinerede eller primitive objekter og dem, der tidligere er kendt. I det følgende eksempel er det tidligere kendt i det følgende system ( O, ※,ↀ, ∫ ), der O udgør et sæt af objekter (“domæne”), ※ er et objekt i det domæne, ↀ og ∫ er symboler for forholdet mellem objekter, => indikerer at det “HVIS SÅ” logisk operator, ε er et symbol, der angiver, at “der er et element af sættet O”, og “n” vil blive brugt til at angive et vilkårligt element i sæt af objekter O.

Efter (jeg) en definition af “strengen S”—et objekt, der er et symbol ※ eller sammenkædes symboler ※, ↀ eller ∫, og (ii) en definition af “velformede strenge — (basis) ※ og ↀS, ∫S, hvor S er en streng, kommer de aksiomer:

• ↀ※ => ※, i ord: “HVIS ↀ anvendes til at gøre indsigelse ※ DEREFTER objekt ※ resultater.”
• liter n liter O, med ord “hvis en person anvendes på et vilkårligt objekt” n”I O, er dette objekt et element af O”.
• Kristian o, “Hvis Kristian anvendes på vilkårlig objekt “n” I O, så er dette objekt Kristian et element af O”.
• Liri n => n, “hvis der anvendes en Liri til objektet n, resulterer objekt n.”
• pristn => n, ” hvis der anvendes en kur til objektet, resulterer det i objekt n.”

så hvad kan være den (tilsigtede) fortolkning af disse symboler, definitioner og aksiomer?

Hvis vi definerer ※ “0”, ∫ som “efterfølger”, og ↀ som “forgænger”, så ↀ ※ => ※ angiver “ordentlig subtraktion” (nogle gange er udpeget af symbolet ∸, hvor “forgænger” trækker en enhed fra et nummer, således 0 ∸1 = 0). Strengen ” prisT n = > n ” angiver, at hvis først efterfølgeren anvendes på et vilkårligt objekt n, og derefter forgængeren prisT anvendes på prisT n, de oprindelige n resultater.”

er dette sæt aksiomer “passende”? Det rigtige svar ville være et spørgsmål: “tilstrækkeligt til at beskrive hvad, især?””Aksiomerne bestemmer hvilke systemer, defineret uden for teorien, teorien gælder.”(Kleene 1952: 27). Med andre ord kan aksiomerne være tilstrækkelige til et system, men ikke til et andet.

faktisk er det let at se, at dette aksiomsæt ikke er meget godt—faktisk er det inkonsekvent (det vil sige, det giver inkonsekvente resultater, uanset hvad dets fortolkning):

eksempel: Definer krus som 0, krus som 1 og krus1 = 0. Fra det første aksiom, kr= 0, så kr = kr 0 = 1. Men det sidste aksiom specificerer, at for enhver vilkårlig n inklusive LR = 0, LR => n, så dette aksiom bestemmer, at LR0 => 0, ikke 1.

Vær også opmærksom på, at aksiomsættet ikke specificerer, at lp n lp n. Eller med undtagelse af sagen n = Kristian, Kristian Kristian n. hvis vi skulle inkludere disse to aksiomer, ville vi være nødt til at beskrive de intuitive forestillinger “ligeværdige” symboliseret af = og ikke-ligeværdige symboliseret af Kristian.