de grafiek van een kwadratische vergelijking

we weten dat elke lineaire vergelijking met twee variabelen kan worden geschreven in de vorm y = mx + b en dat de grafiek een lijn is. In deze sectie zullen we zien dat elke kwadratische vergelijking van de vorm y=ax2+bx+c een gebogen grafiek heeft die een parabolathegraaf wordt genoemd van elke kwadratische vergelijking y=ax2+bx+c, waarbij A, b en c reële getallen zijn en A≠0..

twee punten bepalen elke lijn. Echter, omdat een parabool is gebogen, moeten we meer dan twee punten te vinden. In deze tekst zullen we ten minste vijf punten bepalen als een middel om een aanvaardbare schets te produceren. Om te beginnen, we grafieken onze eerste parabool door het plotten van punten. Gegeven een kwadratische vergelijking van de vorm y = ax2 + bx + c, x is de onafhankelijke variabele en y is de afhankelijke variabele. Kies een aantal waarden voor x en bepaal vervolgens de bijbehorende y-waarden. Plot vervolgens de punten en schets de grafiek.

Voorbeeld 1: Grafiek door het plotten van punten: y=x2-2x-3.

oplossing: kies in dit voorbeeld de x-waarden {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} en bereken de overeenkomstige y-waarden.

teken deze punten en bepaal de vorm van de grafiek.

antwoord:

bij het grafieken willen we bepaalde speciale punten in de grafiek opnemen. De Y-as is het punt waar de grafiek De y-as snijdt. De x-intercepts zijn de punten waar de grafiek de x-as snijdt. Het hoekpunthet punt dat het minimum of maximum van een parabool definieert. is het punt dat het minimum of maximum van de grafiek definieert. Tot slot, de lijn van symmetriede verticale lijn door de top, x= – b2a, waarover de parabool symmetrisch is. (ook wel de as van symmetryA term gebruikt bij het verwijzen naar de lijn van symmetrie.) is de verticale lijn door de top, waarover de parabool symmetrisch is.

voor elke parabool vinden we de hoekpunt en de Y-as. Bovendien, als de x-Onderscheppingen bestaan, dan zullen we die ook willen bepalen. Gissen naar de x-waarden van deze speciale punten is niet praktisch; daarom zullen we technieken ontwikkelen die het vinden ervan vergemakkelijken. Veel van deze technieken zullen uitgebreid gebruikt worden naarmate we verder gaan in onze studie van de algebra.

gegeven een kwadratische vergelijking van de vorm y = ax2 + bx + c, vind de Y-asafsnijding door X=0 in te stellen en op te lossen. In het algemeen, y=a(0)2+b (0)+c=c, en we hebben

bedenk vervolgens dat de x-intercepts, als ze bestaan, kunnen worden gevonden door het instellen van y=0. Als we dit doen, hebben we 0 = a2 + bx + c, die algemene oplossingen heeft gegeven door de kwadratische formule, x = – B±b2-4ac2a. Daarom hebben de x-intercepts deze algemene vorm:

met behulp van het feit dat een parabool symmetrisch is, kunnen we de verticale symmetrielijn bepalen met behulp van de x-intercepts. Om dit te doen, vinden we de x-waarde halverwege tussen de x-intercepts door een gemiddelde als volgt te nemen:

daarom is de symmetrielijn de verticale lijn:

We kunnen de symmetrielijn gebruiken om de x-waarde van de vertex. De stappen voor het grafisch maken van een parabool worden beschreven in het volgende voorbeeld.

Voorbeeld 2: grafiek: y= – x2-2x+3.

oplossing:

Stap 1: Bepaal het y-snijpunt. Om dit te doen, stelt u x = 0 in en lost u op voor y.

De y-intercept is (0, 3).

Stap 2: Bepaal de x-Onderscheppingen. Om dit te doen, stelt u y = 0 in en lost u op voor x.

hier als y = 0, krijgen we twee oplossingen. Er zijn twee X-intercepts, (-3, 0) en (1, 0).

Stap 3: Bepaal de top. Een manier om dit te doen is om de vergelijking voor de symmetrielijn, x=−b2a, te gebruiken om de x-waarde van het hoekpunt te vinden. In dit voorbeeld, A = -1 en b = -2:

vervang -1 in de oorspronkelijke vergelijking om de corresponderende y-waarde te vinden.

de top is (-1, 4).

Stap 4: Bepaal extra punten zodat we ten minste vijf punten hebben om te plotten. In dit voorbeeld is een ander punt voldoende. Kies x = -2 en zoek de bijbehorende y-waarde.

Our fifth point is (−2, 3).

Step 5: Plot the points and sketch the graph. To recap, the points that we have found are

Answer:

de parabool opent naar beneden. Gebruik in het algemeen de leidende coëfficiënt om te bepalen of de parabool naar boven of naar beneden opent. Als de leidende coëfficiënt negatief is, zoals in het vorige voorbeeld, dan opent de parabool naar beneden. Als de leidende coëfficiënt positief is, opent de parabool naar boven.

alle kwadratische vergelijkingen van de vorm y=ax2+bx+c hebben parabolische grafieken met y-intercept (0, c). Echter, niet alle parabolen hebben X onderschept.

Voorbeeld 3: grafiek: y = 2×2 + 4x + 5.

oplossing: Omdat de leidende coëfficiënt 2 positief is, merk op dat de parabool naar boven opent. Hier is c = 5 en de Y-as is (0, 5). Om de x-intercepts te vinden, Stel je y = 0 in.

In dit geval, a = 2, b = 4, en c = 5. Gebruik de discriminant om het aantal en het type oplossingen te bepalen.

aangezien de discriminant negatief is, concluderen we dat er geen echte oplossingen zijn. Omdat er geen echte oplossingen zijn, zijn er geen X-Onderscheppingen. Vervolgens bepalen we de x-waarde van de top.

aangezien de x-waarde van de top -1 is, vervang de oorspronkelijke vergelijking om de overeenkomstige y-waarde te vinden.

de top is (-1, 3). Tot nu toe hebben we slechts twee punten. Om er nog drie te bepalen, kies je een aantal x-waarden aan weerszijden van de symmetrielijn, x = -1. Hier kiezen we x-waarden -3, -2 en 1.

samenvattend hebben we

y-intercept:	(0, 5)
x-intercepts:	None
Vertex:	(−1, 3)
Extra points:	(−3, 11), (−2, 5), (1, 11)

Plot the points and sketch the graph.

Answer:

Example 4: Graph: y=−2×2+12x−18.

Solution: Note that a = −2: the parabola opens downward. Since c = −18, the y-intercept is (0, −18). To find the x-intercepts, set y = 0.

oplossen door factoring.

Hier is x = 3 een dubbele root, dus er is slechts één X-intercept, (3, 0). Uit de oorspronkelijke vergelijking, a = -2, b = 12, en c = -18. De x-waarde van het vertex kan als volgt worden berekend:

aangezien de x-waarde van het vertex 3 is, vervang de oorspronkelijke vergelijking om de overeenkomstige y-waarde te vinden.

daarom is de vertex (3, 0), wat toevallig hetzelfde punt is als de x-intercept. Tot nu toe hebben we slechts twee punten. Om er nog drie te bepalen, kies je een aantal x-waarden aan weerszijden van de symmetrielijn, x = 3 in dit geval. Kies x-waarden 1, 5 en 6.

samenvattend hebben we

y-intercept:	(0, -18)
x-intercept:	(3, 0)
Vertex:	(3, 0)
Extra punten:	(1, -8), (5, -8), (6, -18)

teken de punten en schets de grafiek.

antwoord:

Voorbeeld 5: grafiek: y=x2−2x−1.

oplossing: aangezien a = 1, opent de parabool naar boven. Verder is c = -1, dus de Y-as is (0, -1). Om de x-intercepts te vinden, Stel je y = 0 in.

los in dit geval op met de kwadratische formule A = 1, b = -2, en c = -1.

Hier verkrijgen we twee echte oplossingen voor x, en dus zijn er twee X-intercepts: