Bog 1 af elementerne begynder med adskillige definitioner efterfulgt af de berømte fem postulater. Derefter, før Euclid begynder at bevise sætninger, giver han en liste over fælles forestillinger. De første få definitioner er:

postulaterne er dem af konstruktion som:

man kan tegne en lige linje fra ethvert punkt til ethvert punkt.

de almindelige forestillinger er aksiomer som:

ting, der er lig med det samme, er også lig med hinanden.

vi skal bemærke visse ting.

1. Euclid synes at definere et punkt to gange (definition 1 og 3) og en linje to gange (definition 2 og 4). Dette er ret mærkeligt.
2. Euclid bruger aldrig definitionerne og henviser aldrig til dem i resten af teksten.
3. nogle begreber er aldrig defineret. For eksempel er der ingen forestilling om at bestille punkterne på en linje, så ideen om, at et punkt er mellem to andre, defineres aldrig, men selvfølgelig bruges det.
4. som vi bemærkede i de reelle tal: Pythagoras til Stevin, bog V af elementerne betragter størrelser og teorien om andelen af størrelser. Imidlertid forlader Euclid begrebet størrelsesorden udefineret, og dette ser ud til moderne læsere, som om Euclid ikke har oprettet størrelser med den strenghed, som han er berømt for.
5. når Euclid introducerer størrelser og tal, giver han nogle definitioner, men ingen postulater eller almindelige forestillinger. For eksempel kan man forvente, at Euclid postulerer a+b=b+A, (A+b)+c=A+(b+c)A + B = b + A, (A + b) + c = A + (b + c)A+b=b+A, (A+b)+c=A+(b+c) osv., men det gør han ikke.
6. når Euclid introducerer tal i bog VII, laver han en definition, der ligner de grundlæggende i begyndelsen af bog i:
   en enhed er den, i kraft af hvilken hver af de ting, der findes, kaldes en.

nogle historikere har antydet, at forskellen mellem den måde, hvorpå grundlæggende definitioner forekommer i begyndelsen af bog i og bog V, ikke skyldes, at Euclid var mindre streng i bog V, snarere antyder de, at Euclid altid efterlod sine grundlæggende begreber udefinerede, og definitionerne i begyndelsen af bog i er senere tilføjelser. Hvad er beviset for dette?
Den første kommentar ville være, at dette ville forklare, hvorfor Euclid aldrig henviser til de grundlæggende definitioner. Hvis de ikke var i den tekst, som Euclid skrev, kunne han selvfølgelig ikke henvise til dem. Det næste punkt at bemærke er, at de ligner meget det arbejde, der tilskrives Heron kaldet definitioner af udtryk i geometri. Dette indeholder 133 definitioner af geometriske udtryk, der begynder med punkter, linjer osv. som er meget tæt på dem, der er givet af Euclid. I Knorr argumenterer overbevisende for, at dette arbejde faktisk skyldes Diophantus. Pointen her er følgende. Er definitioner af udtryk i geometri baseret på Euclids Elementer, eller er de grundlæggende definitioner fra dette arbejde blevet indsat i senere versioner af elementerne?

vi er nødt til at overveje, hvad Sekstus Empiricus siger om definitioner. 200 E.kr., og man troede indtil relativt for nylig, at Heron levede senere end dette. Var dette tilfældet, så kunne selvfølgelig ikke have henvist til noget skrevet af Heron. Men for nylig er Heron dateret til det første århundrede e.kr., og det fortæller os, at Sekstus skrev efter Heron. Den anden del af puslespillet, vi skal overveje her, er den tidligste version af Euclids Elementer, der findes. Da Vesuv brød ud i 79 E. kr., blev Herculaneum sammen med Pompeji og Stabiae ødelagt. Herculaneum blev begravet af en kompakt masse materiale omkring 16 m dyb, som bevarede byen, indtil udgravninger begyndte i det 18.århundrede. Særlige betingelser for Fugtighed i jorden konserveret træ, klud, mad, og især papyri, som giver os vigtige oplysninger. En papyrus fundet der indeholder fragmenter af elementerne og blev tydeligt skrevet før 79 E.kr. Siden Philodemus, en studerende fra Sidon, tog sit bibliotek med papyri der et stykke tid kort efter 75 F.kr. vil versionen af elementerne sandsynligvis være omkring den dato.
Lad os gå tilbage til Sekstus, der skriver om “matematikere, der beskriver geometriske enheder”, og det er interessant, at ordet “beskriver” ikke bruges i elementerne, men bruges af Heron i definitioner af udtryk i geometri. Igen er beskrivelserne, han giver, tættere på de nøjagtige ord, der vises i Heron end Euclids. Når Sekstus giver “definitionen af en cirkel”, bruger han ordet “definition”, som er Euclid. Sekstus citerer den nøjagtige definition af en cirkel, der vises i Herculaneum-fragmentet. Dette inkluderer ikke en definition af “omkreds”, selvom Euclid bruger begrebet omkreds af en cirkel. De senere versioner af de elementer, der er kommet ned til os, inkluderer en definition af “omkreds” inden for definitionen af en cirkel.
Ingen af ovenstående beviser, om de grundlæggende definitioner af geometriske objekter er blevet tilføjet til elementerne senere. De viser ret overbevisende, at definitionen af en cirkel er blevet udvidet til at omfatte definitionen af omkreds i senere udgaver af bogen. Hypotesen er, at Sekstus har elementerne og definitionerne af udtryk i geometri foran sig, når han skriver, og han bruger ordet “beskrive”, når han henviser til hejre og “definere”, når han henviser til Euclid. Selvom dette er korrekt, beviser det stadig ikke, at versionen af elementerne, der sidder foran Sekstus, ikke indeholder grundlæggende definitioner af geometriske objekter, men det gør en sådan mulighed i det mindste værd at diskutere. Hvad synes du?
et sidste punkt at tænke på. Vi citerede ovenfor:

Def. 1.4. En lige linje ligger lige med hensyn til punkterne på sig selv.

hvad betyder det? Det ser ud til at være en mærkelig beskrivelse for Euclid at give, for det ser ud til at være meningsløst. Sammenlign det med definitionen af en lige linje i definitioner af udtryk i geometri:

en lige linje er en linje, der ligeligt med hensyn til alle punkter på sig selv ligger lige og maksimalt stramt mellem dets ekstremiteter.

igen spørger vi læseren: tror du, at definitionen i elementerne er en korruption af Herons definition og så blev tilføjet senere, eller tror du, at Euclid gav en ret dårlig definition, som blev forbedret af Heron? Hvorfor bruger hverken definitionen af en lige linje som den korteste afstand mellem to punkter?