Definizioni

Il momento di inerzia di una sezione I/H può essere trovato se l’area totale è divisa in tre, più piccoli, A, B, C, come mostrato nella figura seguente. L’area finale, può essere considerata come la combinazione additiva di A + B + C. Tuttavia, poiché le flange sono uguali, una combinazione più semplice può essere (A + B + C + 2V)-2V. Pertanto, il momento di inerzia Ix della sezione I/H, relativo all’asse x-x centroide, è determinato in questo modo:

I_x = \frac{b h^3}{12} – \frac{(b-t_w) (h-2t_f)^3}{12}

dove h l’altezza della sezione, b la larghezza delle flange, tf lo spessore delle flange e tw lo spessore del nastro.

Il momento di inerzia Iy della sezione I / H, rispetto all’asse y-y centroidale, si trova per:

I_y = \frac{(h-2t_f) t_w^3}{12} + 2\frac{t_f b^3}{12}

Assi Paralleli Teorema

Il momento di inerzia di qualsiasi forma, rispetto a un arbitrario, non asse centrale, può essere trovata se il suo momento di inerzia rispetto a un asse centrale, parallelo al primo, è noto. Il cosiddetto Teorema degli assi paralleli è dato dalla seguente equazione:

I’ = I + d^2

dove I è il momento d’inerzia rispetto a un asse arbitrario, i il momento di inerzia rispetto a un asse centrale, parallelo al primo, d la distanza tra i due assi paralleli e Una zona di forma, pari a 2b t_f + (h-2t_f)t_w , in caso di I/H con sezione pari flange.

Per il prodotto di inerzia Ixy, il teorema degli assi paralleli assume una forma simile:

I_{xy’} = I_{xy} + A d_{x}d_{y}

dove Ixy è il prodotto dell’inerzia, rispetto agli assi centroidali x,y (=0 per la sezione I/H, a causa della simmetria), e Ixy’ è il prodotto dell’inerzia, rispetto agli assi paralleli a quelli centroidali x,y, con offset da essi rispettivamente d_{x} e d_{y}.

Assi ruotati

Per la trasformazione dei momenti di inerzia da un sistema di assi x, y a un altro u, v, ruotato di un angolo φ, vengono utilizzate le seguenti equazioni:

\begin{split} I_u & = \frac{I_x+I_y}{2} + \frac{I_x-I_y}{2} \cos{2\varphi} -I_{xy} \sin{2\varphi} \\ I_v & = \frac{I_x+I_y}{2} – \frac{I_x-I_y}{2} \cos{2\varphi} +I_{xy} \sin{2\varphi} \\ I_{uv} & = \frac{I_x-I_y}{2} \sin{2\varphi} +I_{xy} \cos{2\varphi} \end{split}

dove Ix, Iy i momenti di inerzia iniziale, assi e Ixy il prodotto d’inerzia. Ui, Iv e Iuv sono le rispettive quantità per gli assi ruotati u, v. Il prodotto di inerzia Ixy di una sezione I / H con flange uguali, circa assi x, y centroidali, è zero, perché x e y sono anche assi di simmetria.

Assi principali

Negli assi principali, che sono ruotati di un angolo θ rispetto a quelli centroidali originali x,y, il prodotto dell’inerzia diventa zero. Per questo motivo, qualsiasi asse di simmetria della forma, è anche un asse principale. I momenti di inerzia sugli assi principali, I_I, I_{II} sono chiamati momenti principali di inerzia, e sono quelli massimi e minimi, per qualsiasi angolo di rotazione del sistema di coordinate. Per una sezione I/H con flange uguali, x e y sono assi di simmetria e quindi definiscono gli assi principali della forma. Di conseguenza, Ix e Iy sono i principali momenti di inerzia.

Dimensioni

Le dimensioni del momento di inerzia (secondo momento di area) sono ^4 .

Momento di inerzia di massa

In Fisica il termine momento di inerzia ha un significato diverso. È correlato con la distribuzione di massa di un oggetto (o più oggetti) su un asse. Questo è diverso dalla definizione solitamente data nelle discipline ingegneristiche (anche in questa pagina) come proprietà dell’area di una forma, comunemente una sezione trasversale, attorno all’asse. Il termine secondo momento di area sembra più accurato a questo proposito.

Applicazioni

Il momento di inerzia (secondo momento o area) è usato nella teoria del fascio per descrivere la rigidità di un fascio contro la flessione (vedi teoria della flessione del fascio). Il momento flettente M applicato a una sezione trasversale è correlato al suo momento di inerzia con la seguente equazione:

M = E\times I \times \kappa

dove E è il modulo di Young, una proprietà del materiale, e κ la curvatura del fascio dovuta al carico applicato. Curvatura del fascio κ descrive l’estensione della flessione nel fascio e può essere espressa in termini di deflessione del fascio w(x) lungo l’asse longitudinale del fascio x, come: \kappa = \frac{d^2 w(x)}{dx^2} . Pertanto, si può vedere dalla precedente equazione, che quando un certo momento flettente M viene applicato a una sezione trasversale del fascio, la curvatura sviluppata è inversamente proporzionale al momento di inerzia I. Integrando le curvature sulla lunghezza del fascio, la deflessione, ad un certo punto lungo l’asse x, dovrebbe anche essere inversamente proporzionale a I.