Rational Exponents

Learning Objective(s)

· Convert radicals to expressions with rational exponents.

· Convert expressions with rational exponents to their radical equivalent.

· Use the laws of exponents to simplify expressions with rational exponents.

· Use rational exponents to simplify radical expressions.

le radici Quadrate sono più spesso scritti utilizzando un segno radicale, come questo, . Ma c’è un altro modo per rappresentare la presa di una radice. Puoi usare esponenti razionali invece di un radicale. Un esponente razionale è un esponente che è una frazione. Ad esempio, può essere scritto come .

Non riesci a immaginare di aumentare un numero a un esponente razionale? Possono essere difficili da abituare, ma gli esponenti razionali possono effettivamente aiutare a semplificare alcuni problemi. Esploriamo la relazione tra esponenti razionali (frazionari) e radicali.

I radicali e gli esponenti frazionari sono modi alternativi di esprimere la stessa cosa. Hai già visto come le radici quadrate possono essere espresse come esponente del potere della metà.

Let’s look at some more examples, but this time with cube roots. Ricordate, cubing un numero lo solleva alla potenza di tre. Si noti che in questi esempi, il denominatore dell’esponente razionale è il numero 3.

These examples help us model a relationship between radicals and esponenti razionali: vale a dire, che l’ennesima radice di un numero può essere scritta come o .

When faced with an espressione contenente un esponente razionale, è possibile riscriverlo utilizzando un radicale. Nella tabella sopra, si noti come il denominatore dell’esponente razionale determina l’indice della radice. Quindi, un esponente di si traduce nella radice quadrata, un esponente di si traduce nella quinta radice o , e si traduce nell’ottava radice o .

Ricordate che esponenti fare riferimento solo alla quantità immediatamente alla loro sinistra, a meno che un simbolo di raggruppamento è utilizzato. L’esempio seguente sembra molto simile all’esempio precedente con una differenza importante: non ci sono parentesi! Guarda cosa succede.

Just as you can rewrite an expression with a rational exponent as a radical expression, you can express a radical expression using a rational exponent.

Tutti i numeratori per gli esponenti frazionari negli esempi di cui sopra sono stati 1. È possibile utilizzare esponenti frazionari che hanno numeratori diversi da 1 per esprimere le radici, come mostrato di seguito. Si noti qualche modello all’interno di questa tabella?

Per la riscrittura di un radicale utilizzando un esponente frazionario, il potere di cui il radicand è cresciuto diventa il numeratore e il root diventa il denominatore.

Scrivere esponenti frazionari

Qualsiasi radicale nella forma può essere scritto usando un esponente frazionario nella forma.

La relazione trae funziona anche per esponenti razionali che hanno un numeratore pari a 1. Ad esempio, il radicale può anche essere scritto come , poiché qualsiasi numero rimane lo stesso valore se viene elevato alla prima potenza. Ora puoi vedere da dove viene il numeratore di 1 nella forma equivalente di .

Esploriamo ora alcune espressioni radicali e vediamo come semplificarle. Ecco un’espressione radicale che deve essere semplificata, .

Un metodo per semplificare questa espressione è quello di calcolare ed estrarre gruppi di a3, come mostrato di seguito in questo esempio.

Si può anche semplificare questa espressione, pensando radicale come espressione con esponente razionale, e in base al principio che ogni radicale nella forma può essere scritto utilizzando un esponente frazionario in forma .

Note that rational exponents are subject to all of the same rules as other exponents when they appear in algebraic expressions.

Entrambi i metodi di semplificazione hanno dato lo stesso risultato, a2. A seconda del contesto del problema, potrebbe essere più facile utilizzare un metodo o l’altro, ma per ora, noterai che sei stato in grado di semplificare questa espressione più rapidamente usando esponenti razionali rispetto a quando si utilizza il metodo “pull-out”.

Proviamo un altro esempio.

Ancora una volta, il metodo alternativo è quello di lavorare sulla semplificazione sotto il radicale utilizzando factoring. Per l’esempio che hai appena risolto, sembra questo.

Which of the expressions below is equal to the expression when written using a rational exponent?

A)

B)

C)

D)

proviamo un po ‘ più complessa espressione, . Questa espressione ha due variabili, una frazione e un radicale. Prendiamolo passo dopo passo e vediamo se l’uso di esponenti frazionari può aiutarci a semplificarlo.

Iniziamo semplificando il denominatore, poiché è qui che si trova il segno radicale.

Bene, che ha preso un po’, ma lo avete fatto. Hai applicato ciò che sai sugli esponenti frazionari, sugli esponenti negativi e sulle regole degli esponenti per semplificare l’espressione.

Un radicale può essere espresso come espressione con un esponente frazionario seguendo la convenzione . Riscrivere i radicali usando esponenti frazionari può essere utile per semplificare alcune espressioni radicali. Quando si lavora con esponenti frazionari, ricordare che gli esponenti frazionari sono soggetti a tutte le stesse regole degli altri esponenti quando appaiono nelle espressioni algebriche.