Libro 1 degli elementi inizia con numerose definizioni seguite dai famosi cinque postulati. Quindi, prima che Euclide inizi a dimostrare i teoremi, fornisce un elenco di nozioni comuni. Le prime definizioni sono:

I postulati sono quelli di costruzione come:

Si può tracciare una linea retta da qualsiasi punto a qualsiasi punto.

Le nozioni comuni sono assiomi come:

Anche le cose uguali alla stessa cosa sono uguali tra loro.

Dovremmo notare alcune cose.

1. Euclide sembra definire un punto due volte (definizioni 1 e 3) e una linea due volte (definizioni 2 e 4). Questo è piuttosto strano.
2. Euclide non fa mai uso delle definizioni e non fa mai riferimento ad esse nel resto del testo.
3. Alcuni concetti non sono mai definiti. Ad esempio non esiste la nozione di ordinare i punti su una linea, quindi l’idea che un punto sia tra due altri non viene mai definita, ma ovviamente viene utilizzata.
4. Come abbiamo notato nei numeri reali: Pitagora a Stevin, Libro V degli elementi considera grandezze e la teoria della proporzione di grandezze. Tuttavia Euclide lascia indefinito il concetto di grandezza e questo sembra ai lettori moderni come se Euclide non fosse riuscito a creare grandezze con il rigore per cui è famoso.
5. Quando Euclide introduce grandezze e numeri dà alcune definizioni ma nessun postulato o nozioni comuni. Ad esempio ci si potrebbe aspettare che Euclide postuli a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c)a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c), ecc., ma non lo fa.
6. Quando Euclide introduce i numeri nel Libro VII, fa una definizione piuttosto simile a quelle di base all’inizio del libro I:
   Un’unità è quella in virtù della quale ciascuna delle cose che esistono è chiamata una.

Alcuni storici hanno suggerito che la differenza tra il modo in cui le definizioni di base si verificano all’inizio del Libro I e del Libro V non è perché Euclide era meno rigorosa nel Libro V, anzi, essi suggeriscono che Euclide sempre lasciato i suoi concetti di base di indefinito e le definizioni all’inizio del Libro mi sono aggiunte successive. Qual è la prova di questo?
Il primo commento sarebbe che questo spiegherebbe perché Euclide non si riferisce mai alle definizioni di base. Se non fossero nel testo scritto da Euclide, ovviamente non poteva riferirsi a loro. Il punto successivo da notare è che sono molto simili al lavoro che è attribuito a Heron chiamato Definizioni di termini in geometria. Questo contiene 133 definizioni di termini geometrici che iniziano con punti, linee ecc. che sono molto vicini a quelli dati da Euclide. In Knorr sostiene in modo convincente che questo lavoro è in realtà dovuto a Diofanto. Il punto qui è il seguente. Le definizioni dei termini in geometria si basano sugli elementi di Euclide o le definizioni di base di questo lavoro sono state inserite nelle versioni successive degli Elementi?

Dobbiamo considerare ciò che Sextus Empiricus dice sulle definizioni. In primo luogo si noti che Sesto ha scritto circa 200 DC e si credeva fino a relativamente di recente che Airone vissuto più tardi di questo. Se questo fosse il caso, allora naturalmente Sesto non avrebbe potuto fare riferimento a nulla scritto da Heron. Tuttavia più recentemente Airone è stato datato al I secolo DC e questo ci dice che Sesto ha scritto dopo Airone. L’altra parte del puzzle che dobbiamo considerare qui è la prima versione degli elementi di Euclide da trovare. Quando il Vesuvio eruttò nel 79 d.C., Ercolano insieme a Pompei e Stabiae, fu distrutta. Ercolano è stato sepolto da una massa compatta di materiale di circa 16 m di profondità che ha conservato la città fino a quando gli scavi sono iniziati nel 18 ° secolo. Particolari condizioni di umidità del terreno conservavano legno, stoffa, cibo, ed in particolare papiri che ci danno importanti informazioni. Un papiro trovato lì contiene frammenti degli elementi ed è stato chiaramente scritto prima del 79 DC. Dal momento che Filodemo, uno studente di Zenone di Sidone, ha preso la sua biblioteca di papiri lì qualche tempo subito dopo il 75 AC la versione degli elementi è probabile che sia di circa quella data.
Torniamo a Sesto che scrive di “matematici che descrivono entità geometriche” ed è interessante che la parola “descrivere” non è usato negli elementi, ma è usato da Airone nelle definizioni dei termini in geometria. Ancora una volta le descrizioni che dà sono più vicine alle parole esatte che appaiono in Heron rispetto a quelle di Euclide. Quando Sesto dà ” la definizione di un cerchio “usa la parola” definizione ” che è quella di Euclide. Sesto cita la definizione precisa di un cerchio che appare nel frammento di Ercolano. Questo non include una definizione di “circonferenza” anche se Euclide usa la nozione di circonferenza di un cerchio. Le versioni successive degli Elementi che sono giunti fino a noi includono una definizione di” circonferenza ” all’interno della definizione di un cerchio.
Nessuno dei precedenti dimostra se le definizioni di base di oggetti geometrici sono stati aggiunti agli elementi in seguito. Essi mostrano abbastanza convincente che la definizione di un cerchio è stato esteso per includere la definizione di circonferenza nelle edizioni successive del libro. L’ipotesi è che Sesto abbia gli elementi e le definizioni dei termini in geometria di fronte a lui quando sta scrivendo e usa la parola “descrivere” quando si riferisce a Airone e “definire” quando si riferisce a Euclide. Anche se questo è corretto, non prova ancora che la versione degli Elementi seduti di fronte a Sesto non contenga definizioni di base di oggetti geometrici, ma rende tale possibilità almeno degna di essere discussa. Cosa ne pensa?
Un ultimo punto a cui pensare. Abbiamo citato sopra:

Def. 1.4. Una linea retta si trova ugualmente rispetto ai punti su se stessa.

Cosa significa? Sembra una strana descrizione da dare a Euclide, perché sembra priva di significato. Confrontalo con la definizione di una linea retta nelle definizioni dei termini in geometria:

Una linea retta è una linea che ugualmente rispetto a tutti i punti su se stessa giace diritta e al massimo tesa tra le sue estremità.

Ancora una volta chiediamo al lettore: pensi che la definizione che appare negli Elementi sia una corruzione della definizione di Heron e quindi è stata aggiunta in seguito, o pensi che Euclide abbia dato una definizione piuttosto scarsa che è stata migliorata da Heron? Perché nessuno dei due usa la definizione di una linea retta come la distanza più breve tra due punti?