Ora dotato dei principi della teoria logica e della notazione di base, è il momento di esplorare il concetto di equivalenza in logica. In particolare, cosa rende uguali due locali composti?

Due locali composto X & Y sono logicamente equivalenti se, per ogni assegnazione di valori di verità alle primitive locali che compongono X & Y, le istruzioni X & Y sono identici valori di verità.

Questa è una definizione difficile da ingoiare, ma è l’applicazione di questa definizione che ci interessa imparare. Per raggiungere questo obiettivo, cammineremo attraverso molteplici esempi sempre più complicati. Per prima cosa, facciamo una deviazione per imparare un po ‘ di più sul nostro Excalibur per questo viaggio — uno degli strumenti più semplici ma potenti per i logici per dimostrare l’equivalenza logica: le tabelle della verità.

Una tabella di verità è uno strumento visivo, sotto forma di un diagramma con righe& colonne, che mostra la verità o la falsità di una premessa composta. È un modo di organizzare le informazioni per elencare tutti i possibili scenari dai locali forniti. Cominciamo con il più semplice esempio, una tabella di verità raffigurante un unico presupposto per la manipolazione di una negazione (~) di una primitiva premessa (P)

tabelle di Verità sono sempre di leggere da sinistra a destra, con un primitivo premessa alla prima colonna. Nell’esempio sopra, la nostra premessa primitiva (P) si trova nella prima colonna; mentre la premessa risultante (~P), post-negazione, costituisce la colonna due.

È facile pensare troppo alle cose qui — non dimenticare che una premessa è semplicemente una dichiarazione che è vera o falsa. Poiché questo esempio ha solo una singola premessa, dobbiamo solo tenere traccia di due risultati; risultando in due righe per quando P è vero o quando è falso. La riga uno descrive, leggendo da sinistra a destra, che se P è vero, allora la negazione di P è falsa; la riga due mostra che se P è già falso, allora la negazione di P è vera.

Passiamo a un esempio più complicato di tabelle di verità in natura inserendo un connettivo che abbiamo visto in precedenza: l’implicazione (- >). Per rendere questo un po ‘ più digeribile, assegniamo le nostre affermazioni P & Q qualche contesto prima di costruire la nostra tabella della verità:

P: Thanos ha spezzato le dita

Q: il 50% di tutti gli esseri viventi è scomparso

Prima di guardare sotto, pensa a questa struttura dati i dettagli sopra. Innanzitutto, poiché abbiamo due premesse primitive (P, Q), sappiamo che avremo bisogno di almeno due colonne; inoltre, dovremmo prepararci per la premessa risultante con l’implicazione connettiva (P -> Q), che richiederà un’altra colonna. Un totale di tre colonne.

Che dire delle righe? Poiché abbiamo due premesse che possono essere vere o false, per tenere conto di tutti i possibili scenari, abbiamo bisogno di un totale di quattro righe (PS — un corollario pulito può essere derivato da questa osservazione: una tabella di verità che rappresenta N premesse richiede N2 righe). Proviamo ora a tracciare questa tabella & assicurarsi che è comprensibile:

Rivedere la tabella di verità sopra la riga per riga. La prima riga conferma che entrambi Thanos ha spezzato le dita (P) & il 50% di tutti gli esseri viventi è scomparso (Q). Dal momento che entrambe le premesse sono vere, allora la risultante premessa (l’implicazione o condizionale) è vero:

la seconda Fila è altrettanto diretta comprensione. Questa volta, P è ancora vero, tuttavia Q è ora falso. L’interpretazione qui è ” Thanos ha spezzato le dita, ma il 50% di tutti gli esseri viventi non è scomparso.” Visto che ci siamo impostazione di dimostrare la validità dell’implicazione, ha senso l’affermazione precedente rende la premessa generale, come inequivocabilmente falso:

Le ultime due righe sono un po ‘ più intuitivo. C’è una scorciatoia qui: dobbiamo solo guardare la prima colonna per registrare che l’implicazione è vera. In entrambe le righe tre& quattro, la premessa antecedente (P) è falsa — che è tutto ciò che dobbiamo sapere, indipendentemente dal valore della premessa Q, al fine di determinare l’implicazione come vera.

Perché è che un falso antecedente sempre porta ad una vera implicazione? Perché nell’universo della nostra affermazione logica, dal momento che l’antecedente non è accaduto, è impossibile eliminare tutti i possibili scenari che potrebbero aver causato Q. Ad esempio, la riga 3 dice che “Thanos non ha schioccato le dita ancora il 50% di tutti gli esseri viventi è scomparso” comunque. Beh, per quanto ne sappiamo una meteora, un disastro naturale, un’invasione aliena o una miriade di altre attività potrebbero aver causato quell’estinzione — in uno di questi scenari, indipendentemente da quale, l’implicazione rimane vera perché non possiamo ancora dimostrare cosa succede quando schiocca le dita.

Onto Proving Equivalency

Le tabelle di verità sono diagrammi di tracciamento logico a portata di mano che appaiono non solo in matematica, ma anche in informatica, ingegneria elettrica& filosofia. La notazione può variare a seconda del settore in cui sei impegnato, ma i concetti di base sono gli stessi. Sono uno strumento versatile e interdisciplinare, eppure abbiamo solo scalfito la superficie della loro utilità.

Ora dotato di tabelle di verità, è il momento di crescere verso dimostrando equivalenza tra più locali composti. Nel prossimo articolo di questa serie, sfrutteremo le nostre conoscenze di composizione per dimostrare che due premesse composte distinte, come l’implicazione & contra-positive, sono uguali.

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