e (Numero di Eulero)
Il numero e è uno dei numeri più importanti in matematica.
Le prime cifre sono:
2.7182818284590452353602874713527 (e altro ancora …)
È spesso chiamato il numero di Eulero dopo Leonhard Euler (pronunciato “Oliatore”).
e è un numero irrazionale (non può essere scritto come una semplice frazione).
e è la base dei Logaritmi Naturali (inventati da John Napier).
e si trova in molte aree interessanti, quindi vale la pena conoscere.
Calcolo
Ci sono molti modi per calcolare il valore di e, ma nessuno di questi dà mai una risposta totalmente esatta, perché e è irrazionale e le sue cifre vanno avanti per sempre senza ripetere.
Ma è noto per oltre 1 trilione di cifre di precisione!
Ad esempio, il valore di (1 + 1/n) n si avvicina a e quando n diventa sempre più grande:
| n | (1 + 1/n)n |
| 1 | 2.00000 |
| 2 | 2.25000 |
| 5 | 2.48832 |
| 10 | 2.59374 |
| 100 | 2.70481 |
| 1,000 | 2.71692 |
| 10,000 | 2.71815 |
| 100,000 | 2.71827 |
Try it! Put “(1 + 1/100000)^100000” into the calculator:
(1 + 1/100000)100000
What do you get?
Un altro calcolo
Il valore di e è anche uguale a 10! + 11! + 12! + 13! + 14! + 15! + 16! + 17! + … (ecc)
(Nota: “!”significa fattoriale)
I primi termini si sommano a: 1 + 1 + 12 + 16 + 124 + 1120 = 2.71666…
In effetti Eulero stesso ha usato questo metodo per calcolare e a 18 cifre decimali.
Puoi provarlo tu stesso al Calcolatore Sigma.
Ricordando
Per ricordare il valore di e (a 10 posti) basta ricordare questo detto (contare le lettere!):
- Per
- espresso
- e
- ricordate
- per
- memorizzare
- un
- sentenza
- per
- memorizzare
- questo
Oppure si può ricordare il modello curioso che dopo il “2.7” il numero “1828” appare due VOLTE:
2.7 1828 1828
E seguenti CHE sono le cifre degli angoli di 45°, 90°, 45° in un Triangolo rettangolo Isoscele (senza reale motivo, solo per come è):
2.7 1828 1828 45 90 45
(Un istante sembra davvero intelligente!)
Crescita
e viene utilizzato nella funzione esponenziale” Naturale”:
Grafico di f(x) = ex
è questa splendida proprietà: “la sua pendenza è il suo valore”
In qualsiasi punto la pendenza della ex è uguale al valore di ex :
quando x=0, il valore ex = 1, e la pendenza = 1
quando x=1, il valore ex = e, e la pendenza = e
etc…
Questo è vero ovunque per ex, e rende alcune cose nel calcolo (dove abbiamo bisogno di trovare pendenze) molto più facili.
Area
L’area fino a qualsiasi valore x è uguale a ex :
Una proprietà interessante
Solo per divertimento, prova “Taglia poi moltiplica”
Diciamo che tagliamo un numero in parti uguali e poi moltiplichiamo quelle parti insieme.
Esempio: Tagliare 10 in 2 pezzi e moltiplicarli:
Ogni “pezzo” è 10/2 = 5 in dimensioni
5×5 = 25
Ora, … come potremmo ottenere la risposta per essere il più grande possibile, che dimensione dovrebbe essere ogni pezzo?
La risposta: rendere le parti il più vicino possibile alla dimensione “e”.
Esempio: 10
Il vincitore è il numero più vicino a “e”, in questo caso 2.5.
Provalo con un altro numero, ad esempio 100, … cosa ottieni?
100 cifre decimali
Ecco e a 100 cifre decimali:
2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957
49669676277240766303535475945713821785251664274…
Avanzato: Uso di e in interesse composto
Spesso il numero e appare in luoghi inaspettati. Come nella finanza.
Immagina una meravigliosa banca che paga il 100% di interesse.
In un anno potresti trasformare 1 1000 in $2000.
Ora immagina che la banca paghi due volte l’anno, cioè il 50% e il 50%
A metà dell’anno hai $1500,
reinvestisci per il resto dell’anno e il tuo $1500 cresce a $2250
Hai più soldi, perché hai reinvestito a metà strada.
Che si chiama interesse composto.
Potremmo ottenere ancora di più se spezzassimo l’anno in mesi?
Possiamo usare questa formula:
(1+r/n)n
r = tasso di interesse annuale (come decimale, quindi 1 non 100%)
n = numero di periodi all’interno dell’anno
Il nostro esempio semestrale è:
(1+1/2)2 = 2.25
Proviamo mensilmente:
(1+1/12)12 = 2.613…
Proviamo 10.000 volte l’anno:
(1+1/10,000)10,000 = 2.718…
Sì, si sta dirigendo verso e (ed è come Jacob Bernoulli lo ha scoperto per la prima volta).
Perché succede?
La risposta sta nella somiglianza tra:
| Capitalizzazione Formula: | (1 + r/n)n | |
| e | ||
| e (per n che tende a infinito): | (1 + 1/n)n |
La formula di Compounding è molto simile alla formula per e (come n si avvicina all’infinito), solo con una r extra (il tasso di interesse).
Quando abbiamo scelto un tasso di interesse del 100% (= 1 come decimale), le formule sono diventate le stesse.
Leggere Compounding continuo per più.
La formula di Eulero per i numeri complessi
e appare anche in questa equazione più sorprendente:
ein + 1 = 0
Leggi di più qui
Trascendentale
e è anche un numero trascendentale.
Leave a Reply