Autovettore e Autovalore
Hanno molti usi!
Un esempio semplice è un autovettore non cambia direzione, in una trasformazione:
La Matematica Di Esso
Per una matrice quadrata A, un Autovettore e Autovalore fare questa equazione è vera:
vedremo come trovarli (se sono presenti) presto, ma prima cerchiamo di vedere uno in azione:
Esempio: Per questa matrice -6 3 4 5 un autovettore è: 1 4 con l’autovalore corrispondente di 6
Facciamo alcune moltiplicazioni di matrice per vedere cosa otteniamo.
Av ci dà:
λv ci dà :
Sì, sono uguali! Quindi Av = λv come promesso.
Nota come moltiplichiamo una matrice per un vettore e otteniamo lo stesso risultato di quando moltiplichiamo uno scalare (solo un numero) per quel vettore.
Come troviamo queste eigen cose?
Iniziamo trovando l’autovalore: sappiamo che questa equazione deve essere vera:
Av = λv
e ‘ Ora di farci mettere in una matrice di identità in modo abbiamo a che fare con matrix-vs-matrice:
Av = λIv
Portare tutti a sinistra:
Av − λIv = 0
Se v è diverso da zero, quindi possiamo risolvere per λ utilizzando solo il determinante:
| A − λI | = 0
proviamo l’equazione sul nostro precedente esempio:
Esempio: Risolvere per λ:
Inizia con | A − λI | = 0
|
|
|
-6
3
4
5
− λ
1
0
0
1
|
|
|
= 0 |
Che è:
= 0
Calcolare il determinante si ottiene:
(−6−λ)(5−λ) − 3×4 = 0
Che poi ci fa questa Equazione Quadratica:
λ2 + λ − 42 = 0
E risolvendo si ottiene:
λ = -7 o 6
E sì, ci sono due possibili autovalori.
Ora conosciamo gli autovalori, troviamo i loro autovettori corrispondenti.
Esempio (continua): Trova l’autovettore per l’autovalore λ = 6:
Inizia con:
Av = λv
Mettere i valori che conosciamo:
Dopo aver moltiplicato abbiamo queste due equazioni:
| −6x + 3y | = | 6x |
| 4x + 5y | = | 6y |
Bringing all to left hand side:
| −12x + 3y | = | 0 |
| 4x − 1y | = | 0 |
Either equation reveals that y = 4x, so the eigenvector is any non-zero multiple of this:
And we get the solution shown at the top of the page:
… e anche …
Av = λv
Ora è il tuo turno per trovare l’autovettore per gli altri autovalori di -7
Perché?
Qual è lo scopo di questi?
Una delle cose interessanti è che possiamo usare le matrici per fare trasformazioni nello spazio, che è usato molto nella computer grafica.
In tal caso l’autovettore è “la direzione che non cambia direzione” !
E l’autovalore è la scala del tratto:
- 1 significa nessun cambiamento,
- 2 significa raddoppiare in lunghezza,
- -1 significa puntare all’indietro lungo la direzione dell’autovalore
Ci sono anche molte applicazioni in fisica, ecc.
Perché “Eigen”
Eigen è una parola tedesca che significa “possedere” o “tipica”
“das ist ihnen eigen” isGerman per “che è tipico di loro”
a Volte in inglese si usa la parola “caratteristica”, così un autovettore può essere definita una “caratteristica vettoriale”.
Non solo due dimensioni
Autovettori funzionano perfettamente in 3 e superiori dimensioni.
Esempio: trova gli autovalori per questa matrice 3×3: 2 0 0 0 4 5 0 4 3
Prima calcola A-λI:
Ora il determinante deve essere uguale a zero:
a:
(2−λ) = 0
Questo finisce per essere una cubica di equazione, ma solo a guardarla qui vediamo una delle radici è 2 (a causa di 2−λ), e la parte tra parentesi quadre è di secondo grado, con radici di -1 e 8.
Quindi gli autovalori sono -1, 2 e 8
Esempio (continua): trovare l’Autovettore corrispondente all’Autovalore -1
Mettere i valori che conosciamo:
Dopo la moltiplicazione di tali equazioni:
| 2x | = | −x |
| 4y + 5z | = | −y |
| 4y + 3z | = | −z |
Bringing all to left hand side:
| 3x | = | 0 |
| 5y + 5z | = | 0 |
| 4y + 4z | = | 0 |
So x = 0, and y = −z and so the eigenvector is any non-zero multiple of this:
TEST Av:
E λv:
Salto Av = λv, yay!
(Si può provare la tua mano a degli autovalori di 2 e 8)
di Rotazione
Torna nel mondo 2D di nuovo, questa matrice fare la rotazione θ:
Esempio: Ruotare di 30°
cos(30°) = √32 e sin(30°) = 12, quindi:
Ma se ruotiamo tutti i punti, qual è la direzione che non cambia di direzione”?
Cerchiamo di lavorare attraverso la matematica per scoprire:
Prima calcolare A-λI:
Ora il determinante deve essere uguale a zero:
Che è:
(√32−λ)(√32−λ) − (-12)(12) = 0
Che diventa questa Equazione Quadratica:
λ2 − (√3)λ + 1 = 0
le Cui radici sono:
λ = √32 ± i2
Gli autovalori sono complessi!
Non so come mostrartelo su un grafico, ma otteniamo comunque una soluzione.
Autovettore
Quindi, cos’è un autovettore che corrisponde, ad esempio, alla radice √32 + i2?
Inizia con:
Av = λv
Inserisci i valori che conosciamo:
Dopo aver moltiplicato abbiamo queste due equazioni:
√32x − 12y = √32x + i2x
12x + √32y = √32y + i2y
Che per semplificare:
−y = ix
x = iy
E la soluzione è un qualsiasi non-zero byte di:
o
Wow, ad esempio, una semplice risposta!
È solo perché abbiamo scelto 30°? O funziona per qualsiasi matrice di rotazione? Te lo lascio fare! Prova un altro angolo, o meglio ancora usa ” cos (θ) “e”sin(θ)”.
Oh, e cerchiamo di controllare almeno una di queste soluzioni:
corrisponde questo?
Oh sì!
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