Neliöyhtälön kuvaaja

tiedämme, että mikä tahansa lineaarinen yhtälö, jossa on kaksi muuttujaa, voidaan kirjoittaa muodossa y=mx+b ja että sen kuvaaja on viiva. Tässä osiossa näemme, että millä tahansa muotoa y=ax2+bx+c olevalla neliöyhtälöllä on parabolathe-kuvaaja, jota kutsutaan minkä tahansa neliöyhtälön y=ax2+bx+c kuvaajaksi, missä a, b ja c ovat reaalilukuja ja A≠0..

kaksi pistettä määrittää minkä tahansa suoran. Koska paraabeli on kuitenkin kaareva, meidän pitäisi löytää enemmän kuin kaksi pistettä. Tässä tekstissä määritämme vähintään viisi kohtaa, jotta voimme laatia hyväksyttävän luonnoksen. Aluksi kuvaamme ensimmäisen paraabelin piirtämällä pisteitä. Koska quadratic yhtälö muodossa y=ax2 + bx + c, x on riippumaton muuttuja ja y on riippuvainen muuttuja. Valitse joitakin arvoja x ja sitten määrittää vastaavat y-arvot. Sitten piirtää pisteitä ja luonnos kuvaaja.

Esimerkki 1: kuvaaja pisteitä piirtämällä: y=x2−2x−3.

ratkaisu: tässä esimerkissä valitaan x-arvot {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} ja laske vastaavat y-arvot.

piirtää nämä pisteet ja määrittää kuvaajan muodon.

vastaus:

graafissa halutaan sisällyttää kuvioon tiettyjä erikoiskohtia. Y-leikkauspiste on piste, jossa kuvaaja leikkaa y-akselin. X-siepparit ovat pisteitä, joissa kuvaaja leikkaa x-akselin. Verteksipiste, joka määrittelee paraabelin minimi – tai maksimimäärän. on piste, joka määrittelee kuvaajan minimi – tai maksimimäärän. Lopuksi viiva symmetryThe pystysuora viiva kautta huippupiste, x= – b2a, jonka paraabeli on symmetrinen. (kutsutaan myös akselin symmetria termi, jota käytetään viitattaessa linjan symmetria.) on verteksin läpi kulkeva pystyviiva, jonka ympärillä paraabeli on symmetrinen.

mille tahansa paraabelille löytyy huippupiste ja y-katkaisija. Lisäksi, jos X-sieppauksia on olemassa, haluamme selvittää nekin. Näiden erikoispisteiden x-arvoilla arvaaminen ei ole käytännöllistä; siksi kehitämme tekniikoita, jotka helpottavat niiden löytämistä. Monet näistä tekniikoista käytetään laajasti, koska me edistymme meidän tutkimus algebra.

koska neliöyhtälö on muotoa y=ax2+bx+c, etsitään y-sieppaus asettamalla x=0 ja ratkaisemalla. Yleensä y=a(0)2+b(0)+C=C, ja meillä on

seuraavaksi muistutetaan, että X-sieppaukset, jos ne ovat olemassa, voidaan löytää asettamalla y = 0. Näin meillä on 0=a2+bx + c, jolla on yleiset ratkaisut, jotka saadaan kvadraattisella kaavalla x=−b±b2−4ac2a. Siksi x-intervalleilla on tämä yleinen muoto:

käyttämällä sitä, että paraabeli on symmetrinen, voimme määrittää pystysuoran symmetrian X-intervallien avulla. Tätä varten löydämme X-arvon keskiviivan ottamalla keskiarvon seuraavasti:

näin ollen symmetrialinja on pystyviiva:

voimme symmetrialinjan avulla löytää x-arvo huippupiste. Vaiheet kaavinta paraabeli on esitetty seuraavassa esimerkissä.

Esimerkki 2: kuvaaja: y=−x2−2x+3.

liuos:

Vaihe 1: määritetään y-leikkaus. Tätä varten asetetaan x = 0 ja ratkaistaan Y: lle.

y-leikkaus on (0, 3).

Vaihe 2: Määritä X-sieppaukset. Tätä varten asetetaan y = 0 ja ratkaistaan X: lle.

tässä Kun y = 0, saadaan kaksi ratkaisua. X-torjuntoja on kaksi, (-3, 0) ja (1, 0).

Vaihe 3: määritetään huippupiste. Yksi tapa tehdä tämä on käyttää yhtälöä symmetriajon, x=−b2a, löytää x-arvo, huippupiste. Tässä esimerkissä a = -1 ja b = -2:

korvaa -1 alkuperäiseen yhtälöön vastaavan y-arvon löytämiseksi.

huippupiste on (-1, 4).

Vaihe 4: Määritä lisäpisteet niin, että meillä on vähintään viisi piirrettävää pistettä. Tässä esimerkissä riittää vielä yksi seikka. Valitse x = -2 ja etsi vastaava y-arvo.

Our fifth point is (−2, 3).

Step 5: Plot the points and sketch the graph. To recap, the points that we have found are

Answer:

paraabeli aukeaa alaspäin. Yleensä käytetään johtava kerroin määrittää, paraabeli avautuu ylös-tai alaspäin. Jos Johtava kerroin on negatiivinen, kuten edellisessä esimerkissä, niin paraabeli avautuu alaspäin. Jos Johtava kerroin on positiivinen, paraabeli avautuu ylöspäin.

kaikissa muotoa y=ax2+bx+c olevissa neliöyhtälöissä on paraabelit kuvaajat, joissa on y-leikkaus (0, c). Kaikissa paraabeleissa ei kuitenkaan ole x-kuuntelulaitteita.

esimerkki 3: kaavio: y=2×2+4x+5.

ratkaisu: Koska johtava kerroin 2 on positiivinen, huomaa, että paraabeli avautuu ylöspäin. Tässä c = 5 ja y-leikkaus on (0, 5). Jos haluat löytää X-sieppaukset, aseta y = 0.

tällöin a = 2, b = 4 ja c = 5. Käytä discriminant määrittää määrä ja tyyppi ratkaisuja.

koska diskriminantti on negatiivinen, päädymme siihen, ettei todellisia ratkaisuja ole. Koska todellisia ratkaisuja ei ole, ei ole x-sieppauksia. Seuraavaksi voimme määrittää X-arvo, huippupiste.

ottaen huomioon, että huippupisteen x-arvo on -1, korvataan alkuperäinen yhtälö vastaavan y-arvon löytämiseksi.

huippupiste on (-1, 3). Toistaiseksi pisteitä on vain kaksi. Voit määrittää kolme muuta, Valitse joitakin x-arvoja molemmin puolin symmetria, x = -1. Tässä valitaan x-arvot -3, -2 ja 1.

yhteenvetona meillä on

Plot the points and sketch the graph.

Answer:

Example 4: Graph: y=−2×2+12x−18.

Solution: Note that a = −2: the parabola opens downward. Since c = −18, the y-intercept is (0, −18). To find the x-intercepts, set y = 0.

ratkaise faktoroimalla.

tässä x = 3 on kaksoisjuuri, joten x-katkaisijoita on vain yksi, (3, 0). Alkuperäisestä yhtälöstä a = -2, b = 12 ja c = -18. Huippupisteen x-arvo voidaan laskea seuraavasti:

ottaen huomioon, että huippupisteen x-arvo on 3, korvataan alkuperäiseen yhtälöön vastaava y-arvo.

näin ollen huippupiste on (3, 0), joka sattuu olemaan sama piste kuin X-leikkauspiste. Toistaiseksi pisteitä on vain kaksi. Voit määrittää kolme muuta, Valitse joitakin x-arvoja molemmin puolin symmetria, x = 3 tässä tapauksessa. Valitse x-arvot 1, 5 ja 6.

yhteenvetona meillä on

Piirrä pisteet ja piirrä kaavio.

vastaus:

esimerkki 5: Graph: y=x2−2x−1.

ratkaisu: koska A = 1, paraabeli avautuu ylöspäin. Lisäksi C = -1, joten y-leikkaus on (0, -1). Jos haluat löytää X-sieppaukset, aseta y = 0.

tällöin ratkaistaan käyttäen neliökaavaa, jossa A = 1, b = -2 ja C = -1.

tässä saadaan kaksi todellista ratkaisua x: lle, ja näin saadaan kaksi x-torjuntaa: