Eigenvector og Eigenvalue
de har mange anvendelser!
et simpelt eksempel er, at en egenvektor ikke ændrer retning i en transformation:
matematikken i det
for en firkantet matrice a gør en egenvektor og egenværdi denne ligning sand:
Vi vil se, hvordan man finder dem (hvis de kan findes) snart, men lad os først se en i aktion:
eksempel: for denne Matrice -6 3 4 5 er en egenvektor: 1 4 med den matchende egenværdi på 6
lad os lave nogle matricer for at se, hvad vi får.
Av giver os:
:
ja de er lige! Så Av = Kristian som lovet.
bemærk, hvordan vi multiplicerer en matrice med en vektor og får det samme resultat, som når vi multiplicerer en skalar (kun et tal) med den vektor.
Hvordan finder vi disse eigen ting?
Vi starter med at finde egenværdien: vi ved, at denne ligning skal være sand:
Av = λv
lad os Nu sat i en matrix, så vi har at gøre med matrix-vs-matrix:
Av = λIv
Bring alle til venstre side:
Av − λIv = 0
Hvis v er ikke-nul så vi kan løse for λ bare ved hjælp af determinanten:
| A − λI | = 0
Lad os prøve at ligning på vores tidligere eksempel:
Eksempel: Løs for λ:
Start med | a − Kristi | = 0
|
|
|
-6
3
4
5
− Lira
1
0
0
1
|
|
|
= 0 |
hvilket er:
= 0
Beregningen af denne faktor bliver:
(−6−λ)(5−λ) − 3×4 = 0
, Som så får os til denne andengradsligning:
λ2 + λ − 42 = 0
Og løse det bliver:
λ = -7 eller 6
Og ja, der er to mulige egenværdier.
nu kender vi egenværdier, lad os finde deres matchende egenvektorer.
eksempel (fortsat): Find Egenvektoren for egenværdien Lars = 6:
Start med:
Av = λv
Sat i forhold til de værdier, vi kender:
Efter at gange får vi disse to ligninger:
| −6x + 3y | = | 6x |
| 4x + 5y | = | 6y |
Bringing all to left hand side:
| −12x + 3y | = | 0 |
| 4x − 1y | = | 0 |
Either equation reveals that y = 4x, so the eigenvector is any non-zero multiple of this:
And we get the solution shown at the top of the page:
… og også …
so av = Larv
nu er det din tur at finde egenvektoren til den anden egenværdi af -7
hvorfor?
Hvad er formålet med disse?
en af de seje ting er, at vi kan bruge matricer til at udføre transformationer i rummet, som bruges meget i computergrafik.
i så fald er egenvektoren “den retning, der ikke ændrer retning” !
og egenværdien er strækningens skala:
- 1 betyder ingen ændring,
- 2 betyder fordobling i længden,
- -1 betyder at pege baglæns langs egenværdiens retning
der er også mange anvendelser inden for fysik osv.
hvorfor “Eigen”
Eigen er et tysk ord, der betyder “egen” eller “typisk”
“das ist ihnen eigen” erTysk for “det er typisk for dem”
Nogle gange på engelsk bruger vi ordet “karakteristisk”, så en egenvektor kan kaldes en “karakteristisk vektor”.
ikke kun to dimensioner
egenvektorer fungerer perfekt i 3 og højere dimensioner.
eksempel: find egenværdierne for denne 3H3-matrice: 2 0 0 0 4 5 0 4 3
først beregne a-kursi:
nu skal determinanten være lig med nul:
hvilket er:
(2−list) = 0
dette ender med at blive en kubisk ligning, men bare se på det her ser vi en af rødderne er 2 (på grund af 2−list), og delen inde i de firkantede parenteser er kvadratisk med rødder på -1 og 8.
så egenværdierne er -1, 2 og 8
eksempel (fortsat): find Egenvektoren, der matcher egenværdien -1
Indsæt de værdier, vi kender:
efter multiplikation får vi disse ligninger:
| 2x | = | −x |
| 4y + 5z | = | −y |
| 4y + 3z | = | −z |
Bringing all to left hand side:
| 3x | = | 0 |
| 5y + 5z | = | 0 |
| 4y + 4z | = | 0 |
So x = 0, and y = −z and so the eigenvector is any non-zero multiple of this:
TEST Av:
og:
Jump av=larvv, yay!
(Du kan prøve din hånd på egenværdierne for 2 og 8)
roterende
Tilbage i 2D−verdenen igen, denne matrice vil gøre rotationen af larr:
div>
eksempel: Drej med 30°
cos(30°) = √32 og sin(30°) = 12, så:
Men hvis vi rotere alle punkter, hvad der er den “retning, der ikke ændrer retning”?
lad os arbejde gennem matematikken for at finde ud af:
først beregne a-Kristi:
Nu er det afgørende bør være lig nul:
Der er:
(√32−λ)(√32−λ) − (-12)(12) = 0
Der bliver til denne andengradsligning:
λ2 − (√3)λ + 1 = 0
Hvis rødder er:
λ = √32 ± i2
eigenvalues er komplekse!
jeg ved ikke, hvordan jeg viser dig det på en graf, men vi får stadig en løsning.
Eigenvector
så hvad er en egenvektor, der matcher, siger, den rot 32 + i2 rod?
Start med:
Av = larstv
sæt de værdier, vi kender:
Efter at gange får vi disse to ligninger:
√32x − 12y = √32x + i2x
12x + √32y = √32y + i2y
Der forenkler, at:
−y = ix
x = iy
Og den løsning, der er nogen ikke-nul-byte:
eller
Åh, sådan et simpelt svar!
er det bare fordi vi valgte 30 liter? Eller fungerer det for enhver rotationsmatrice? Jeg vil lade dig arbejde det ud! Prøv en anden vinkel, eller brug endnu bedre “cos(LARP)” og “sin(LARP)”.
Åh, og lad os kontrollere mindst en af disse løsninger:
Betyder det passer til dette?
åh ja det gør det!
Leave a Reply