e (Eulers nummer)
tallet e er et af de vigtigste tal i matematik.
de første par cifre er:
2.7182818284590452353602874713527 (og mere …)
det kaldes ofte Eulers nummer efter Leonhard Euler (udtalt “Oiler”).
e er et irrationelt tal (det kan ikke skrives som en simpel brøkdel).
e er grundlaget for de naturlige logaritmer (opfundet af John Napier).
e findes i mange interessante områder, så det er værd at lære om.
beregning
der er mange måder at beregne værdien af e på, men ingen af dem giver nogensinde et helt præcist svar, fordi e er irrationel, og dens cifre fortsætter for evigt uden at gentage.
men det er kendt for over 1 billioner cifre af nøjagtighed!
for eksempel nærmer værdien af (1 + 1 / n)n e som n bliver større og større:
| n | (1 + 1/n)n |
| 1 | 2.00000 |
| 2 | 2.25000 |
| 5 | 2.48832 |
| 10 | 2.59374 |
| 100 | 2.70481 |
| 1,000 | 2.71692 |
| 10,000 | 2.71815 |
| 100,000 | 2.71827 |
Try it! Put “(1 + 1/100000)^100000” into the calculator:
(1 + 1/100000)100000
What do you get?
en anden beregning
værdien af e er også lig med 10! + 11! + 12! + 13! + 14! + 15! + 16! + 17! + … (etc)
(Bemærk: “!”betyder factorial)
de første par udtryk tilføjer til: 1 + 1 + 12 + 16 + 124 + 1120 = 2.71666…
faktisk brugte Euler selv denne metode til at beregne e til 18 decimaler.
Du kan prøve det selv på Sigma-regnemaskinen.
husk
for at huske værdien af e (til 10 steder) skal du bare huske dette ordsprog (tæl bogstaverne!):
- til
- udtryk
- e
- husk
- til
- a
- sætning
- til
- husk
- dette
eller du kan huske det nysgerrige mønster, at efter “2.7” nummeret “1828” vises to gange:
2.7 1828 1828
og efter det er cifrene i vinklerne 45 liter, 90 liter, 45 liter i en retvinklet ensartet trekant (ingen reel grund, bare hvordan det er):
2.7 1828 1828 45 90 45
(en øjeblikkelig måde at virke rigtig smart på!)
vækst
e bruges i den” naturlige ” eksponentielle funktion:
graf af f(H) = eks
det har denne vidunderlige egenskab: “dens hældning er dens værdi”
på ethvert tidspunkt er hældningen af eks lig med værdien af eks :
når=0, værdien eks = 1, og hældningen = 1
når=1, værdien eks = E, og hældningen = e
etc…
dette gælder overalt for eks, og gør nogle ting i Calculus (hvor vi skal finde skråninger) meget lettere.
Areal
området op til en hvilken som helst h-værdi er også lig med eks :
en interessant egenskab
bare for sjov, prøv “skær derefter Multiplicer”
lad os sige, at vi skærer et tal i lige store dele og derefter multiplicerer disse dele sammen.
eksempel: skær 10 i 2 stykker og multiplicer dem:
hvert “stykke” er 10/2 = 5 i størrelse
5 liter 5 = 25
nu, … hvordan kunne vi få svaret til at være så stort som muligt, hvilken størrelse skal hvert stykke være?
svaret: gør delene så tæt som muligt på “e” i størrelse.
eksempel: 10
vinderen er nummeret tættest på “e”, i dette tilfælde 2.5.
prøv det med et andet nummer selv, siger 100,… hvad får du?
100 decimaler
Her er e til 100 decimaler:
2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957
49669676277240766303535475945713821785251664274…
avanceret: brug af e I sammensat rente
ofte vises tallet e på uventede steder. Som i økonomi.
Forestil dig en vidunderlig bank, der betaler 100% interesse.
på et år kan du gøre $1000 til $2000.
forestil dig nu, at banken betaler to gange om året, det er 50% og 50%
halvvejs gennem året har du $1500,
du geninvesterer resten af året, og din $1500 vokser til $2250
Du fik flere penge, fordi du geninvesterede halvvejs igennem.
det kaldes sammensat rente.
kunne vi få endnu mere, hvis vi brød året op i måneder?
Vi kan bruge denne formel:
(1+r/n)n
r = årlig rente (som decimal, så 1 ikke 100%)
n = antal perioder inden for året
vores halvårlige eksempel er:
(1+1/2)2 = 2.25
lad os prøve det månedligt:
(1+1/12)12 = 2.613…
lad os prøve det 10.000 gange om året:
(1+1/10,000)10,000 = 2.718…
Ja, det er på vej mod e (og sådan opdagede Jacob Bernoulli det først).
hvorfor sker det?
svaret ligger i ligheden mellem:
| sammensætning formel: | (1 + r/n)n | |
| og | ||
| E (som n nærmer sig uendelighed): | (1 + 1/n)n |
Sammensætningsformlen er meget som formlen for e (som n nærmer sig uendelig), bare med en ekstra r (renten).
da vi valgte en rente på 100% (= 1 som decimal), blev formlerne de samme.
Læs kontinuerlig sammensætning for mere.
Eulers formel for komplekse tal
E vises også i denne mest fantastiske ligning:
ein + 1 = 0
Læs mere her
Transcendental
e er også et transcendentalt tal.
Leave a Reply