Graf Kvadratické Rovnice

víme, že každá lineární rovnice s dvěma proměnnými lze zapsat ve formě y=mx+b, a, že její graf je řada. V této sekci, budeme vidět, že jakýkoliv kvadratickou rovnici ve tvaru y=ax2+bx+c má zakřivený graf nazývá parabolaThe graf každé kvadratické rovnice y=ax2+bx+c, kde a, b, a c jsou reálná čísla, a≠0..

dva body určují libovolnou čáru. Protože je však parabola zakřivená, měli bychom najít více než dva body. V tomto textu určíme nejméně pět bodů jako prostředek k vytvoření přijatelného náčrtu. Nejprve grafujeme naši první parabolu vykreslením bodů. Vzhledem k kvadratické rovnici tvaru y=ax2+bx+c je x nezávislá proměnná a y je závislá proměnná. Vyberte některé hodnoty pro x a poté určete odpovídající hodnoty y. Poté vykreslete body a načrtněte graf.

Příklad 1: Graf vykreslením bodů: y=x2-2x-3.

řešení: v tomto příkladu zvolte hodnoty x {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} a vypočítat odpovídající hodnoty y.

vykreslete tyto body a určete tvar grafu.

odpověď:

při grafování chceme do grafu zahrnout určité speciální body. Y-intercept je bod, kde graf protíná osu y. X-zachycení jsou body, kde graf protíná osu x. Vertexbod, který definuje minimum nebo maximum paraboly. je bod, který definuje minimum nebo maximum grafu. Konečně, linie symetrievertikální čára přes vrchol, x= – b2a, o které je parabola symetrická. (také nazývaná osa symetrietermín používaný při odkazování na linii symetrie.) je svislá čára přes vrchol, kolem kterého je parabola symetrická.

pro každou parabolu najdeme vrchol a y-intercept. Kromě toho, pokud existují x-odposlechy, pak je budeme chtít také určit. Hádat o hodnotách x těchto zvláštních bodů není praktické; proto budeme vyvíjet techniky, které usnadní jejich nalezení. Mnoho z těchto technik bude značně používáno, jak postupujeme v našem studiu algebry.

vzhledem k kvadratické rovnici tvaru y=ax2+bx+c najděte y-intercept nastavením x=0 a řešením. Obecně platí, že y=a(0)2+b(0)+c=c, a máme

Další, připomeňme si, že x-zachytí, pokud existují, lze nalézt nastavením y=0. Tímto způsobem máme 0=a2+bx+c, které má obecná řešení daná kvadratickým vzorcem, x=−b±b2-4ac2a. Proto průsečíky mají tento obecný tvar:

Pomocí skutečnost, že parabola je symetrická, můžeme určit vertikální osu symetrie pomocí x-zachytí. K tomu, abychom našli hodnotu “ x “ na půli cesty mezi průsečíky tím, že v průměru takto:

Proto, osu symetrie je svislá čára:

můžeme použít osu symetrie najít x-ové hodnoty vrcholu. Kroky pro vykreslení paraboly jsou uvedeny v následujícím příkladu.

příklad 2: graf: y= – x2-2x+3.

řešení:

Krok 1: Určete zachycení y. Chcete-li to provést, nastavte x = 0 a vyřešte pro y.

y-intercept je (0, 3).

Krok 2: Určete x-zachytí. K tomu, nastavte y = 0 a řešit pro x.

Tady, když y = 0, dostaneme dvě řešení. Existují dva X-odposlechy, (-3, 0) a (1, 0).

Krok 3: Určete vrchol. Jedním ze způsobů, jak toho dosáhnout, je použít rovnici pro linii symetrie, x= – b2a, k nalezení hodnoty x vrcholu. V tomto příkladu, a = -1 a b = -2:

Náhradní -1 do původní rovnice najít odpovídající hodnota y.

vrchol je (-1, 4).

Krok 4: Určete body navíc, abychom měli alespoň pět bodů na vykreslení. V tomto příkladu postačí jeden další bod. Zvolte x = -2 a najděte odpovídající hodnotu y.

Our fifth point is (−2, 3).

Step 5: Plot the points and sketch the graph. To recap, the points that we have found are

Answer:

Parabola se otevře směrem dolů. Obecně použijte přední koeficient k určení, zda se parabola otevírá nahoru nebo dolů. Pokud je hlavní koeficient záporný, jako v předchozím příkladu, parabola se otevře směrem dolů. Pokud je přední koeficient kladný, parabola se otevírá nahoru.

všechny kvadratické rovnice tvaru y=ax2+bx+c mají parabolické grafy s y-intercept (0, c). Nicméně, ne všechny paraboly mají x zachycení.

příklad 3: graf: y=2×2+4x+5.

řešení: Protože přední koeficient 2 je kladný, všimněte si, že parabola se otevírá nahoru. Zde c = 5 a y-intercept je (0, 5). Chcete-li najít x-zachytí, nastavte y = 0.

v tomto případě a = 2, b = 4 a c = 5. Použijte diskriminační k určení počtu a typu řešení.

protože diskriminant je negativní, dospěli jsme k závěru, že neexistují žádná skutečná řešení. Protože neexistují žádná skutečná řešení, neexistují žádné x-odposlechy. Dále určíme hodnotu x vrcholu.

vzhledem k tomu, že hodnota x vrcholu je -1, nahraďte do původní rovnice a najděte odpovídající hodnotu y.

vrchol je (-1, 3). Zatím máme jen dva body. Chcete-li určit další tři, vyberte některé hodnoty x na obou stranách linie symetrie, x = -1. Zde zvolíme hodnoty x -3, -2 a 1.

Abychom to shrnuli, máme

Plot the points and sketch the graph.

Answer:

Example 4: Graph: y=−2×2+12x−18.

Solution: Note that a = −2: the parabola opens downward. Since c = −18, the y-intercept is (0, −18). To find the x-intercepts, set y = 0.

řešit factoringem.

zde x = 3 je dvojitý kořen, takže existuje pouze jeden X-intercept, (3, 0). Z původní rovnice a = -2, b = 12 A c = -18. Na x-ové hodnoty vrcholu lze vypočítat takto:

Vzhledem k tomu, že x-ové hodnoty vrcholu je 3, dosadíme do původní rovnice najít odpovídající hodnota y.

proto je vrchol (3, 0), což je shodou okolností stejný bod jako X-intercept. Zatím máme jen dva body. Chcete-li určit další tři, vyberte některé hodnoty x na obou stranách linie symetrie, x = 3 v tomto případě. Zvolte hodnoty x 1, 5 a 6.

Abychom to shrnuli, máme

Plot body a načrtněte graf.

Odpověď:

Příklad 5: Graf: y=x2−2x−1.

řešení: od a = 1 se parabola otevírá nahoru. Dále c = -1, takže y-intercept je (0, -1). Chcete-li najít x-zachytí, nastavte y = 0.

v tomto případě vyřešte pomocí kvadratického vzorce s a = 1, b = -2 a c = -1.

Zde jsme získali dvě reálná řešení pro x, a tedy existují dva průsečíky:

Přibližné hodnoty pomocí kalkulačky:

Použití přibližné odpovědi na místo objednané páru na grafu. Na grafu však představíme přesné x-zachycení. Dále najděte vrchol.