Velformede objekterrediger

Hvis en samling av objekter (symboler og symbolsekvenser) skal betraktes som «velformet», må en algoritme eksistere for å bestemme, ved å stoppe med et «ja» eller «nei» svar, hvorvidt objektet er velformet (i matematikk forkortes en wff velformet formel). Denne algoritmen, i det ekstreme, kan kreve (eller være) En Turing-maskin eller Turing-ekvivalent maskin som «analyserer» symbolstrengen som presentert som «data» på båndet; før en Universell Turingmaskin kan utføre en instruksjon på båndet, må den analysere symbolene for å bestemme den nøyaktige naturen til instruksjonen og / eller datumet som er kodet der. I enklere tilfeller en endelig tilstand maskin eller en pushdown automat kan gjøre jobben. Enderton beskriver bruken av «trær» for å avgjøre om en logisk formel (spesielt en streng av symboler med parenteser) er godt dannet. Alonzo Kirke 1934 beskriver konstruksjonen av » formler «(igjen: sekvenser av symboler) som skrevet i hans λ-kalkulus ved bruk av en rekursiv beskrivelse av hvordan man starter en formel og deretter bygger på startsymbolet ved hjelp av sammenkobling og substitusjon.

Eksempel: Kirken spesifiserte sin λ-kalkulator som følger (følgende er forenklet versjon som utelater forestillinger om fri og bundet variabel). Dette eksemplet viser hvordan en objektteori begynner med en spesifikasjon av et objektsystem av symboler og relasjoner (spesielt ved bruk av sammenkobling av symboler):

(1 )Deklarere symbolene: {,}, (,), λ, pluss et uendelig antall variabler a, b, c,…, x,… (2) Definere formel: en sekvens av symboler (3) Definere begrepet » velformet formel «(wff) rekursivt starter med» basis » (3.i):

• (3.1) (basis) en variabel x er en wff
• (3.2) Hvis F Og X er wffs, så {F}(X) er en wff; hvis x forekommer I F eller X så sies det å være en variabel i {F} (X).
• (3.3) Hvis M er velformet og x forekommer I M, er λx en wff.

(4) Definer ulike forkortelser:

• {F} forkortes Til F(x) hvis F er et enkelt symbol
• F {\displaystyle {{f}}}
  

  forkortes til {F} (X,Y) eller F (x,Y) hvis F Er et enkelt symbol

• λx1λx2…] forkortes til λ 1×2…xn * M
• λ * a•b) forkortes til 1
• λ * a(a(b)) forkortes til 2, etc.

(5) Definere begrepet «substitusjon» av formel N for variabel x gjennom M (Kirke 1936)

Udefinerte (primitive) objekterrediger

Visse objekter kan være «udefinerte» eller «primitive» og motta definisjon (i form av deres oppførsel) ved innføring av aksiomene.

i det neste eksemplet vil de udefinerte symbolene være { ※ ,ↀ,∫}. Aksiomene vil beskrive deres oppførsel.

Aksiomrediger

Kleene observerer at aksiomene består av to sett med symboler: (i) de udefinerte eller primitive objektene og de som tidligere er kjent. I følgende eksempel er det tidligere kjent i følgende system ( O, ※, ↀ, ∫ ) som O utgjør et sett av objekter (den «domain»), ※ er et objekt i domenet, ↀ og ∫ er symboler for relasjoner mellom objekter, => angir «HVIS SÅ er» logiske operatoren, ε er symbolet som viser «er et element av set-O», og «n» vil bli brukt til å indikere en vilkårlig element av set-of-objekter O.

Etter at (jeg) en definisjon av «string S»—et objekt som er et symbol ※ eller sammensatte symboler ※, ↀ eller ∫, og (ii) en definisjon av «godt dannet» strenger — (basis) ※ og ↀS, ∫S hvor S er en hvilken som helst streng, kommer aksiomene:

• ↀ※ => ※, i ord: «HVIS ↀ brukes til å protestere ※ DERETTER objektet ※ resultater.»
• ∫n ε O, med ord «hvis ∫ brukes på vilkårlig objekt» n «I O, så er dette objektet ∫n et element Av O».
• ③n ε o, «hvis ↀ brukes på vilkårlig objekt» n «I O, så er dette objektet ↀ et element Av O».
• ↀ ∫ n = > n, «hvis ↀ brukes på objekt ∫ n, SÅ OBJEKT n resultater.»
• hryvn = > n, » hvis ∫ brukes til objektↀ, SÅ OBJEKT n resultater.»

så hva kan være den (tilsiktede) tolkningen av disse symbolene, definisjonene og aksiomene?

Hvis vi definerer ※ som «0», ∫ som «etterfølger», og ↀ som «forgjenger» så ↀ ※ => ※ viser «riktig subtraksjon» (noen ganger utpekt av symbolet ∸, der «forgjenger» trekker en enhet fra et tall, og dermed 0 ∸1 = 0). Strengen » hryvnias n => n » indikerer at hvis først etterfølgeren blir brukt på et vilkårlig objekt n og deretter blir forgjengeren hryvnias brukt på hryvnias n, vil de opprinnelige n-resultatene.»

er dette settet av aksiomer «tilstrekkelig»? Det riktige svaret ville være et spørsmål: «Tilstrekkelig til å beskrive hva, spesielt?»»Aksiomene bestemmer hvilke systemer, definert fra utenfor teorien, teorien gjelder.»(Kleene 1952: 27). Med andre ord kan aksiomene være tilstrekkelig for ett system, men ikke for et annet.

faktisk er det lett å se at dette aksiomsettet ikke er veldig bra—faktisk er det inkonsekvent (det vil si at det gir inkonsekvente utfall, uansett hvilken tolkning det er):

Eksempel: Definer ※ som 0, ∫ ※ som 1 og ↀ1 = 0. Fra det første aksiomet, ↀ ※ = 0, så ∫ ↀ ※ = ∫0 = 1. Men det siste aksiomet spesifiserer at for enhver vilkårlig n inkludert ※ = 0, ∫ ↀ => n, så dette aksiomet fastsetter at ∫ ↀ0 => 0, ikke 1.

Vær også oppmerksom på at aksiomsettet ikke spesifiserer at ∫n ≠ n. Eller, med unntak av tilfellet n = ※, ↀ ≠ n. hvis vi skulle inkludere disse to aksiomene, må vi beskrive de intuitive forestillingene «likeverdige» symbolisert med = og ikke-likeverdige symbolisert med ≠.