nå utstyrt med prinsippene for logikk teori samt grunnleggende notasjon, er det på tide å utforske begrepet ekvivalens i logikk. Nærmere bestemt, hva gjør to sammensatte lokaler like?

To sammensatte premisser X & Y er logisk ekvivalente hvis, for hver tildeling av sannhetsverdier til de primitive premissene Som utgjør X & Y, setningene X & Y har identiske sannhetsverdier.

det er en vanskelig definisjon å svelge, men det er anvendelsen av denne definisjonen som vi bryr oss om å lære. For å oppnå dette, vil vi gå gjennom flere, stadig mer kompliserte eksempler. Først skjønt, la oss ta en omvei for å lære litt mer om Vår Excalibur for denne reisen-et av de mest enkle, men kraftige verktøyene for logikere å bevise logisk ekvivalens: sannhetstabeller.en sannhetstabell er et visuelt verktøy, i form av et diagram med rader & kolonner, som viser sannheten eller falskheten til en sammensatt premiss. Det er en måte å organisere informasjon på for å liste ut alle mulige scenarier fra de angitte lokalene. La oss starte med det enkleste eksempelet, en sannhetstabell som viser en enkelt premiss manipulasjon: en negasjon (~) av en primitiv premiss (P)

sannhetstabeller leses alltid fra venstre til høyre, med en primitiv premiss i første kolonne. I eksemplet ovenfor er vår primitive premiss (P) i den første kolonnen; mens den resulterende premissen (~p), post-negasjon, utgjør kolonne to.

det er lett å tenke over ting her-ikke glem at en premiss bare er en uttalelse som enten er sann eller falsk. Siden dette eksemplet bare har en enkelt premiss, trenger vi bare å spore for to utfall; noe som resulterer i to rader for Når P er sann eller når Den er falsk. Rad en beskriver, leser fra venstre til høyre, at Hvis P er sant, så er negasjonen Av P falsk; rad to viser at Hvis P allerede er falsk, så er negasjonen Av P sant.

La oss gå videre til et mer komplisert eksempel på sannhetstabeller i naturen ved å sette inn et bindemiddel vi tidligere har sett: implikasjonen (->). For å gjøre dette litt mer fordøyelig, la oss tildele våre uttalelser P & q litt kontekst før du bygger ut vår sannhetstabell:

P: Thanos knipset fingrene

Q: 50% av alle levende ting forsvant

før du ser nedenfor, tenk gjennom denne strukturen gitt detaljene ovenfor. Først, siden Vi har to primitive lokaler (P ,Q), vet vi at vi trenger minst to kolonner; i tillegg bør vi forberede den resulterende premissen med implikasjonen connective (P -> Q), som vil kreve en annen kolonne. Totalt tre kolonner.

hva med rader? Siden vi har to premisser som hver kan være sanne eller falske, for å ta hensyn til alle mulige scenarier, krever vi totalt fire rader — Ps – en fin konsekvens kan utledes fra denne observasjonen: en sannhetstabell som står For n lokaler krever N2 rader). La oss nå tegne denne tabellen ut & kontroller at det er forståelig:

gjennomgå sannhetstabellen over rad for rad. Den første raden bekrefter at Begge Thanos knakk fingrene (P) & 50% av alle levende ting forsvant (Q). Siden begge premissene er sanne, er den resulterende premissen (implikasjonen eller betinget) også sant:

div

rad to er like direkte i forståelse. Denne gangen Er P fortsatt sant, Men Q er nå falsk. Tolkningen her er «Thanos snappet fingrene, men 50% av alle levende ting forsvant ikke.»Siden vi setter ut for å bevise gyldigheten av implikasjonen, er det fornuftig den forrige setningen gjengir den generelle premissen som utvetydig falsk:

de to siste radene er litt mer bakvendt. Det er en snarvei her: vi trenger bare å se på den første kolonnen for å registrere at implikasjonen er sant. I begge radene tre & fire er den antecedente premissen (P) falsk-som er alt vi trenger å vite, uavhengig av verdien av premiss Q, for å bestemme implikasjonen som sann.

opprinnelig Publisert påhttps://www.setzeus.com/

hvorfor fører en falsk antecedent alltid til en sann implikasjon? Fordi i universet av vår logiske uttalelse, siden forløperen ikke har skjedd, er det umulig å eliminere alle mulige scenarier Som kan ha forårsaket Q. for eksempel sier row 3 at «Thanos ikke knipset fingrene ennå 50% av alle levende ting forsvant» uansett. Vel, for alt vi vet, kan en meteor, naturkatastrofe, fremmed invasjon eller myriade av andre aktiviteter ha forårsaket den utryddelsen – i noen av disse scenariene, uansett hvilken, forblir implikasjonen sant fordi vi fortsatt ikke kan bevise hva som skjer når han snaps fingrene.

På Proving Equivalency

Sannhetstabeller er glatte, praktiske logikksporingsdiagrammer som ikke bare vises i matematikk, men også i datavitenskap, elektroteknikk & filosofi også. Notasjonen kan variere avhengig av hvilken bransje du er engasjert i, men de grunnleggende konseptene er de samme. De er et allsidig, tverrfaglig verktøy-men vi har bare skrapet overflaten av deres verktøy.nå utstyrt med sannhetstabeller, er det på tide å vokse mot å bevise ekvivalens mellom flere sammensatte lokaler. I neste artikkel i denne serien vil vi utnytte vår sammensatte kunnskap for å bevise at to forskjellige sammensatte lokaler, som implikasjonen & contra-positive, er like.

opprinnelig publisert på

https://www.setzeus.com/