Articles

Fibonacci-Sekvensen

Fibonacci-Sekvensen er serien av tall:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

det neste tallet er funnet ved å legge sammen de to tallene før det:

  • 2 er funnet ved å legge til de to tallene før det (1+1),
  • 3 er funnet ved å legge til de to tallene før det (1+2),
  • 5 er (2+3),
  • og så videre!

det er så enkelt!

her er en lengre liste:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, …

Kan du finne ut de neste tallene?

Lager En Spiral

Når vi lager firkanter med disse breddene, får vi en fin spiral:

Fibonacci Spiral

ser du hvordan rutene passer pent sammen?
for eksempel 5 og 8 gjør 13, 8 og 13 gjør 21, og så videre.

solsikke
denne spiralen finnes i naturen!
Se: Natur,Det Gylne Snitt og Fibonacci

Regelen

Fibonacci-Sekvensen kan skrives som En» Regel » (Se Sekvenser og Serier).

for Det Første er vilkårene nummerert fra 0 og utover som dette:

n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
xn = 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

så term nummer 6 kalles x6 (som tilsvarer 8).

Eksempel: 8. term er
7. term pluss 6. term:

x8 = x7 + x6

fibonacci regel x_8 = x_7 + x_6

så vi kan skrive regelen:

regelen er xn = xn−1 + xn−2

hvor:

  • xn er term nummer «n»
  • xn−1 er forrige term (n−1)
  • xn−2 er termen før det (n−2)

Eksempel: term 9 beregnes slik:

x9= x9−1 + x9−2
= x8 + x7
= 21 + 13
= 34

gylne snitt

gylne rektangel

og her er en overraskelse. Når vi tar to påfølgende (den ene etter den andre) Fibonacci-Tall, er deres forhold svært nær Det Gyldne Forholdet «φ» som er omtrent 1.618034…

In fact, the bigger the pair of Fibonacci Numbers, the closer the approximation. Let us try a few:

A
B
B / A
2
3
1.5
3
5
1.666666666…
5
8
1.6
8
13
1.625
144
233
1.618055556…
233
377
1.618025751…

vi trenger ikke å starte med 2 og 3, her valgte jeg tilfeldig 192 og 16 (og fikk sekvensen 192, 16, 208, 224, 432, 656, 1088, 1744, 2832, 4576, 7408, 11984, 19392, 31376, …):

A
B
B / A
192
16
0.08333333…
16
208
13
208
224
1.07692308…
224
432
1.92857143…
7408
11984
1.61771058…
11984
19392
1.61815754…

det tar lengre tid å få gode verdier, men det viser at Ikke Bare Fibonacci-Sekvensen kan gjøre dette!

Bruke Det Gylne Snitt til Å Beregne Fibonacci-Tall

Og enda mer overraskende er at Vi kan beregne Hvilket Som helst Fibonacci − Tall ved Å bruke Det Gylne Snitt:

xn = φn−(1-φ)n√5

svaret kommer ut som et helt tall, nøyaktig lik tilsetningen av de to foregående begrepene.

Eksempel: x6

x6 = (1.618034…)6 − (1−1.618034…)6√5

da jeg brukte en kalkulator på dette (bare inn I Golden Ratio til 6 desimaler) fikk jeg svaret 8.00000033, en mer nøyaktig beregning ville være nærmere 8.

Prøv n = 12 og se hva du får.

Du kan også beregne Et Fibonacci-Tall ved å multiplisere Det forrige Fibonacci-Tallet med Det Gylne Snitt og deretter avrunde (fungerer for tall over 1):

Eksempel: 8 × φ = 8 × 1.618034… = 12.94427… = 13 (avrundet)

Noen Interessante Ting

Her Er Fibonacci-sekvensen igjen:

n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
xn = 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610

Det er et interessant mønster:

  • Se på tallet x3 = 2. Hvert 3. tall er et multiplum av 2 (2, 8, 34, 144, 610, …)
  • Se på tallet x4 = 3. Hvert 4. tall er et multiplum av 3 (3, 21, 144,…)
  • Se på tallet x5 = 5. Hvert 5. tall er et multiplum av 5 (5, 55, 610,…)

Og så videre (hvert nte tall er et multiplum av xn).

1/89 = 0.011235955056179775…

Legg Merke til De første sifrene (0,1,1,2,3,5) Er Fibonacci-sekvensen?

På en måte er de alle, bortsett fra flere tall (13, 21, etc) overlapper hverandre, slik som dette:

… osv …

0.011235955056179775… =1/89

Vilkår Under Null

sekvensen fungerer under null også slik:

n= −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
xn = −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8

(Bevis for deg selv at hvert tall er funnet ved å legge sammen de to tallene før det!)

faktisk har sekvensen under null de samme tallene som sekvensen over null, bortsett fra at de følger en +-+- … mønster. Det kan skrives slik:

x−n = (-1)n+1 xn

Som sier at termen «−n» er lik (-1)n+1 ganger termen «n», og verdien (-1) n + 1 gjør det riktig +1, -1, +1, -1, … mønster.

Historie

Fibonacci var ikke den første som visste om sekvensen, den var kjent i India hundrevis av år før!

fibonacci portrait

Om Fibonacci Mannen

Hans virkelige navn Var Leonardo Pisano Bogollo, og han bodde mellom 1170 og 1250 I Italia.

«Fibonacci» var hans kallenavn, som grovt betyr «Sønn Av Bonacci».i tillegg til Å være kjent For Fibonacci-Sekvensen, hjalp han med å spre Hindu-arabiske Tall (som våre nåværende tall 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Gjennom Europa i stedet For Romerske Tall(I, II, III, IV, V, etc). Det har spart oss alle for mye trøbbel! Takk Leonardo.

ballonger

Fibonacci-Dag

Fibonacci-Dag er 23.November, da Den har sifrene «1, 1, 2, 3» som er en del av sekvensen. Så neste November 23 la alle vite!