Egenvektor og Egenverdi
De har mange bruksområder!
et enkelt eksempel er at en egenvektor ikke endrer retning i en transformasjon:
Matematikken Til Den
for en kvadratisk matrise a gjør En Egenvektor og Egenverdi denne ligningen sann:
vi vil se hvordan du finner dem (hvis de kan bli funnet) snart, Men Først La Oss Se En i aksjon:
Eksempel: for denne matrisen -6 3 4 5 er en egenvektor: 1 4 med matchende egenverdi på 6
La oss gjøre noen matrise multipliserer for å se hva vi får.
av gir oss:
=
λ gir oss :
ja, de er like! Så av = λ som lovet.Legg Merke til hvordan vi multipliserer en matrise med en vektor og får det samme resultatet som når vi multipliserer en skalar (bare et tall) med den vektoren.
Hvordan finner vi disse eigen ting?
Vi starter med å finne egenverdien: vi vet at denne ligningen må være sant:
Av = λv
la oss Nå sette i en identitet matrise slik at vi har å gjøre med matrix-vs-matrise:
Av = λIv
Få alle til venstre side:
Av − λIv = 0
Hvis v er ikke-null da kan vi løse for λ kun ved hjelp av determinanten:
| A − λI | = 0
La oss prøve ligningen på vår forrige eksempel:
Eksempel: Løse for λ:
Start med | a − λ | = 0
|
|
|
-6
3
4
5
1
0
0
|
|
|
= 0 |
som er:
= 0
Beregner at determinanten blir:
(−6−λ)(5−λ) − 3×4 = 0
Som deretter får oss til denne Kvadratiske Ligningen:
λ2 + λ − 42 = 0
Og løse det blir:
λ = -7 eller 6
Og ja, det er to mulige eigenvalues.
Nå vet vi egenverdier, la oss finne deres matchende egenvektorer.
Eksempel (fortsettelse): Finn Egenvektoren for Egenverdien λ = 6:
Start med:
av = λv
Sett inn verdiene vi kjenner:
= 6
etter multiplikasjon får vi disse to ligningene:
| −6x + 3y | = | 6x |
| 4x + 5y | = | 6y |
Bringing all to left hand side:
| −12x + 3y | = | 0 |
| 4x − 1y | = | 0 |
Either equation reveals that y = 4x, so the eigenvector is any non-zero multiple of this:
And we get the solution shown at the top of the page:
=
… og også …
så av = λv
nå er det din tur til å finne egenvektoren for den andre egenverdi på -7
hvorfor?
hva er hensikten med disse?En av de kule tingene er at vi kan bruke matriser til å gjøre transformasjoner i rommet, som brukes mye i datagrafikk.
i så fall er egenvektoren «retningen som ikke endrer retning»!
og egenverdien er skalaen til strekningen:
- 1 betyr ingen endring,
- 2 betyr dobling i lengde,
- -1 betyr å peke bakover langs egenverdiens retning
det er også mange applikasjoner i fysikk, etc.
Hvorfor «Eigen»
Eigen Er et tysk ord som betyr » egen «eller»typisk»
«das ist ihnen eigen» isGerman for «som er typisk for dem»
noen ganger på engelsk bruker vi ordet «karakteristisk», så en egenvektor kan kalles en»karakteristisk vektor».
Ikke Bare To Dimensjoner
Egenvektorer fungerer perfekt i 3 og høyere dimensjoner.
Eksempel: finn egenverdiene for denne 3×3 matrisen: 2 0 0 0 4 5 0 4 3
først beregne A-λ:
3−λ
nå skal determinanten være lik null:
3−λ
som er:
(2−λ) = 0
dette ender opp som en kubisk ligning, men bare ser på det her ser vi en av røttene er 2 (på grunn av 2−λ), og delen inne i firkantede parenteser er kvadratisk, med røtter på -1 og 8.
Så Egenverdiene er -1, 2 og 8
Eksempel (fortsettelse): finn Eigenvector som samsvarer med Egenverdi -1
Satt på verdier som vi vet:
Etter å multiplisere får vi disse ligningene:
| 2x | = | −x |
| 4y + 5z | = | −y |
| 4y + 3z | = | −z |
Bringing all to left hand side:
| 3x | = | 0 |
| 5y + 5z | = | 0 |
| 4y + 4z | = | 0 |
So x = 0, and y = −z and so the eigenvector is any non-zero multiple of this:
TEST Av:
og λ:
hopp av=λ, jippi!
(Du kan prøve deg på egenverdiene til 2 og 8)
Roterende
tilbake i 2d−verdenen igjen, vil denne matrisen gjøre rotasjonen ved θ:
div>
eksempel: Rotere ved 30°
cos(30°) = √32 og synd(30°) = 12, slik:
Men hvis vi roterer alle punkter, hva er «retning som ikke endrer retning»?
La oss jobbe gjennom matematikken for å finne ut:
først beregne A-λ:
Nå determinanten skal være lik null:
Som er:
(√32−λ)(√32−λ) − (-12)(12) = 0
Som blir denne Kvadratiske Ligningen:
λ2 − (√3)λ + 1 = 0
Hvis røtter er:
λ = √32 ± i2
eigenvalues er komplisert!
jeg vet ikke hvordan jeg skal vise deg det på en graf, men vi får fortsatt en løsning.
Egenvektor
Så, hva er en egenvektor som samsvarer med, si den √32 + i2-roten?
Start med:
av = λ
Sett inn verdiene vi kjenner:
Etter å multiplisere får vi disse to ligningene:
√32x − 12y = √32x + i2x
12 x + √32y = √32y + i2y
Som forenkler å:
−y = ix
x = iy
Og løsningen er alle ikke-null byte av:
eller
wow, et så enkelt svar!
Er dette bare fordi vi valgte 30° Eller fungerer det for noen rotasjonsmatrise? Jeg vil la deg jobbe det ut! Prøv en annen vinkel, eller bruk enda bedre «cos(θ)» og «sin (θ)».
Oh, og la oss sjekke minst en av disse løsningene:
/div>
stemmer det med dette?
=
å ja det gjør det!
Leave a Reply