e (Eulers Nummer)
tallet e er et av de viktigste tallene i matematikk.
de første sifrene er:
2.7182818284590452353602874713527 (og mer …)
Det kalles Ofte eulers nummer etter Leonhard Euler (uttales «Oiler»).
e er et irrasjonelt tall (det kan ikke skrives som en enkel brøkdel).
e er basen Av De Naturlige Logaritmer (oppfunnet Av John Napier).
e finnes på mange interessante områder, så det er verdt å lære om.
Beregning
det er mange måter å beregne verdien av e på, men ingen av dem gir noen gang et helt eksakt svar, fordi e er irrasjonell og sifrene fortsetter for alltid uten å gjenta.
Men det er kjent for over 1 billion sifre av nøyaktighet!
for eksempel nærmer verdien av (1 + 1 / n)n e når n blir større og større:
| n | (1 + 1/n)n |
| 1 | 2.00000 |
| 2 | 2.25000 |
| 5 | 2.48832 |
| 10 | 2.59374 |
| 100 | 2.70481 |
| 1,000 | 2.71692 |
| 10,000 | 2.71815 |
| 100,000 | 2.71827 |
Try it! Put «(1 + 1/100000)^100000» into the calculator:
(1 + 1/100000)100000
What do you get?
En Annen Beregning
verdien av e er også lik 10! + 11! + 12! + 13! + 14! + 15! + 16! + 17! + … (etc)
(Merk: «!»betyr factorial)
de første begrepene legger opp til: 1 + 1 + 12 + 16 + 124 + 1120 = 2.71666…
Faktisk euler selv brukte denne metoden for å beregne e til 18 desimaler.
Du kan prøve Det selv På Sigma Kalkulatoren.
Huske
å huske verdien av e (til 10 steder) bare husk dette ordtaket (telle bokstavene!):
Eller du kan huske det nysgjerrige mønsteret som etter «2.7» tallet «1828» vises to ganger:
2.7 1828 1828
og følgende er sifrene i vinklene 45°, 90°, 45° i en rettvinklet ensidig trekant (ingen reell grunn, akkurat slik det er):
2.7 1828 1828 45 90 45
(En Umiddelbar måte å virke veldig smart på!)
Vekst
e brukes i Den» Naturlige » Eksponentielle Funksjonen:
Graf av f(x) = ex
Den har denne fantastiske egenskapen: «dens skråning er dens verdi»
når hellingen til ex er lik verdien av ex:
når x=0, verdien ex = 1, og hellingen = 1
når x=1, verdien ex = e, og hellingen = e
Etc…Dette er sant hvor som helst for ex, og gjør noen ting I Kalkulator (hvor vi trenger å finne bakker) mye enklere.
Område
området opp til en hvilken som helst x-verdi er også lik ex :
En Interessant Egenskap
bare for moro skyld, prøv «Klipp Opp Og Multipliser»
la oss si at vi kutter et tall i like deler og deretter multipliserer disse delene sammen.
Eksempel: Klipp 10 i 2 stykker og multipliser dem:
Hvert «stykke» er 10/2 = 5 i størrelse
5×5 = 25
Nå, … hvordan kan vi få svaret til å være så stort som mulig, hvilken størrelse skal hver brikke være?
svaret: gjør delene så nært som mulig til «e» i størrelse.
Eksempel: 10
vinneren er nummeret nærmest «e», i dette tilfellet 2.5.
Prøv det med et annet nummer selv, si 100,… hva får du?
100 Desimaler
her er e til 100 desimaler:
2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957
49669676277240766303535475945713821785251664274…
Avansert: Bruk av e i Rentes Rente
ofte vises tallet e på uventede steder. Som i finans.
Tenk deg en fantastisk bank som betaler 100% rente.
på ett år kan du slå $1000 til $ 2000.forestill deg nå at banken betaler to ganger i året, det vil si 50% Og 50%
Halvveis gjennom året du har $1500,
du reinvesterer for resten av året og $1500 vokser til $2250
du har mer penger, fordi du reinvesterte halvveis gjennom.
det kalles sammensatt interesse.
Kan vi få enda mer hvis vi brøt året opp i måneder?
vi kan bruke denne formelen:
(1 + r / n) n
r = årlig rente (som desimal, så 1 ikke 100%)
n = antall perioder i året
vårt halvårlige eksempel er:
(1+1/2)2 = 2.25
La oss prøve det månedlig:
(1+1/12)12 = 2.613…
La oss prøve det 10.000 ganger i året:
(1+1/10,000)10,000 = 2.718…
ja, det er på vei mot e (Og Er Hvordan Jacob Bernoulli først oppdaget det).
Hvorfor skjer det?
svaret ligger i likheten mellom:
| Compounding Formula: | (1 + r/n)n | ||
| e (som n rmer seg uendelig): |
Sammensetningsformelen er veldig lik formelen for e (som n nærmer seg uendelig), bare med en ekstra r (renten).
når vi valgte en rente på 100% (=1 som desimal), ble formlene de samme.
Les Kontinuerlig Sammensetning for mer.
Eulers Formel for Komplekse Tall
e vises også i denne mest fantastiske ligningen:
ein + 1 = 0
Les mer her
Transcendentalt
e er også et transcendentalt tall.
Leave a Reply