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波の干渉

by admin
右走行（緑）と左走行（青）波の干渉により、最終的な（赤）波が得られます
二つの点源からの波の干渉。
ファイル：2つのピンホールアニメーションを介してレーザー光の3D干渉。webm

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二つのピンホール（側縁）を通過するレーザー光干渉のトリミング断層撮影スキャンアニメーション。

波の重ね合わせの原理は、同じタイプの二つ以上の伝搬波が同じ点に入射すると、その点での結果の振幅は個々の波の振幅のベクトル和に等しい 波の波高が同じ点で同じ周波数の別の波の波高を満たす場合、振幅は個々の振幅の合計であり、これは建設的な干渉です。 ある波の頂上が別の波の谷を満たす場合、振幅は個々の振幅の差に等しくなります—これは破壊的干渉として知られています。

石鹸フィルム内の着色された干渉パターンの拡大画像。 “ブラックホール”は、ほぼ完全な破壊的干渉（反相）の領域です。

波間の位相差がπ（180°）の偶数倍であるときに建設的干渉が発生しますが、差がπの奇数倍であるときに破壊的干渉が発生します。 位相間の差がこれら2つの両極端の中間である場合、合計された波の変位の大きさは最小値と最大値の間にある。

例えば、二つの同一の石が異なる場所でまだ水のプールに落とされたときに何が起こるかを考えてみましょう。 それぞれの石は、石が落とされた点から外側に伝播する円形の波を生成します。 二つの波が重なり合うとき、特定の点での正味の変位は、個々の波の変位の合計である。 いくつかの点で、これらは位相になり、最大変位を生成します。 他の場所では、波は反位相にあり、これらの点で正味の変位はありません。 したがって、表面の一部は静止しています—これらは上の図と右の図では、中心から放射する静止した青緑色の線として見られます。

光の干渉は、波の重ね合わせによって古典的に説明できる一般的な現象ですが、光の干渉をより深く理解するには、量子力学による光の波-粒子二重 光干渉の主な例としては、有名なダブルスリット実験、レーザスペックル、反射防止コーティング、干渉計があります。 伝統的に、古典的な波モデルは、ホイヘンス–フレネルの原理に基づいて、光学干渉を理解するための基礎として教えられています。

DerivationEdit

上記は、二つの波の合計の公式を導出することによって一次元で実証することができます。 X軸に沿って右に移動する正弦波の振幅の式は、W1(x,t)=a cos⁡(k x−ω t){\displaystyle W_{1}(x,t)=A\cos(kx-\omega t)\,}

{\displaystyle W_{1}(x,t)=A\cos(kx-\omega t)\,}

ここで、A{\displaystyle a\,}

A\,

はピーク振幅、k=2π/λ{\displaystyle k=2\pi/\lambda\,}

{\displaystyle K=2\pi/\lambda\,}

はpeak、ω=2π f{\displaystyle\

\omega=2\pi f\,}\omega= 2\pi f\、

は波の角周波数です。 周波数と振幅が同じで位相が異なる第2波も右に移動しているとするW2(x,t)=a cos⁡(k x−ω t+φ){\displaystyle W_{2}(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi)\,}

{\displaystyle W_{2}(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi)\,}ここで、φ{\displaystyle\varphi\,}

\varphi\,

は波の位相差(ラジアン)である。 二つの波がsuperposeと追加されます: 2つの波の合計はW1+W2=Aです。 {\displaystyle W_{1}+W_{2}=A.}

{\displaystyle W_{1}+W_{2}=A.}

2つの余弦の和に対する三角恒等式の使用: cos⁡a+cos⁡b=2cos⁡(a−b2)cos⁡(a+b2),{\displaystyle\cos a+\cos b=2\cos{\Bigl(}{a-b\2}{\Bigr)}\cos{\Bigl(}{a+b席2}{\Bigr)},}

{\displaystyle\cos a+\cos b=2\cos{\Bigl(}{a-b\2}{\Bigr)}\cos{\Bigl(}{a+b席2}{\Bigr)},}

にこの書き込W1+2=2のときA cos⁡(φ2) cos⁡(k x−ω t+φ2). {\displaystyle W_{1}+W_{2}=2A\cos{\Bigl(}{\varphi\over2}{\Bigr)}\cos{\Bigl(}kx-\omega t+{\varphi\over2}{\Bigr)}。}

{\displaystyle W_{1}+W_{2}=2A\cos{\Bigl(}{\varphi\over2}{\Bigr)}\cos{\Bigl(}kx-\omega t+{\varphi\over2}{\Bigr)}。}

これは、元の周波数の波を表し、その成分のように右に移動し、その振幅はφ/2{\displaystyle\varphi/2}

{\displaystyle\varphi/2}

の余弦に比例する。

  • 建設的な干渉：位相差がπの偶数倍である場合: φ=…,−4π,−2π,0,2π,4π,…{\displaystyle\varphi=\ldots,-4\pi,-2\pi,0,2\pi,4\pi,\ldots}
    {\displaystyle\varphi=\ldots,-4\pi,-2\pi,0,2\pi,4\pi,\ldots}

    then|cos π(φ/2)|=1{\displaystyle/\cos(\varphi)}/2)|=1\,}

    {\displaystyle/\cos(\varphi)}/2)|=1\,}+W2=2a cos⁡(k x−ω t){\displaystyle W_{1}+W_{2}=2A\cos(kx−ω t)}

    {\displaystyle W_{1}+W_{2}=2A\cos（kx-\omega t）}
    • 破壊的干渉：位相差がoddの奇数倍である場合: φ = … , − 3 π , − π , π , 3 π , 5 π , … {\displaystyle\varphi=\ldots,-3\pi,\,-\pi,\,\pi,\,3\pi,\,5\pi,\ldots}
      {\displaystyle\varphi=\ldots,-3\pi,\,-\pi,\,\pi,\,3\pi,\,5\pi,\ldots}

      then cos⁡(φ/2)=0{\displaystyle\cos(φ/2)=0}

      {\displaystyle\varphi=\ldots,-3\pi,\,-\pi,\,\pi,\,3\pi,\,5\pi,\ldots}{\displaystyle \varphi =\ldots ,-3\pi ,\,-\pi ,\,\pi ,\,3\pi ,\,5\pi ,\ldots }{\displaystyle \varphi =\ldots ,-3\pi ,\,-\pi ,\,\pi ,\,3\pi ,\,5\pi ,\ldots }\varphi/2)=0\,}{\displaystyle\cos(\varphi/2)=0\,}+W2=0{\displaystyle W_{1}+W_{2}=0\,}

      {\displaystyle W_{1}+W_{2}=0\,}{\displaystyle W_{1}+W_{2}=0\,}{\displaystyle W_{1}+W_{2}=0\,}{2}=0\,}

      二つの平面波の間編集

      二つの平面波干渉のための幾何学的配置
      重なり合う平面波における干渉縞

      同じ周波数の二つの平面波がある角度で交差する場合、単純な形の干渉パターンが得られます。干渉は本質的にエネルギー再分配プロセスです。 破壊的干渉で失われたエネルギーは建設的干渉で取り戻される。一方の波は水平方向に移動し、他方の波は最初の波に対して角度θで下向きに移動しています。 2つの波が点Bで同相であると仮定すると、相対的な位相はx軸に沿って変化する。 点Aにおける位相差は、

      Δ φ=2≤d≤=2≤x sin≤によって与えられる。 {\displaystyle\Delta\varphi={\frac{2\pi d}{\lambda}}={\frac{2\pi x\sin\theta}{\lambda}}。}

      {\displaystyle\Delta\varphi={\frac{2\pi d}{\lambda}}={\frac{2\pi x\sin\theta}{\lambda}}。これは、2つの波が位相にあることがわかりますときx sin θ= 0 , ± 1 , ± 2 , … , {\{\frac{x\sin\theta}{\lambda}}=0,\pm1,\pm2,\ldots,}

      {\displaystyle{\frac{x\sin\theta}{\lambda}}=0,\pm1,\pm2,\ldots,}

      そして、

      x sin θのとき、半サイクルの位相がずれています= ± 1 2 , ± 3 2 , … {\{\frac{x\sin\theta}{\lambda}}=\pm{\frac{1}{2}}、\pm{\frac{3}{2}}、\ldots}

      {\displaystyle{\frac{x\sin\theta}{\lambda}}=\pm{\frac{1}{2}}、\pm{\frac{3}{2}}、\ldots}{\displaystyle {\frac {x\sin \theta }{\lambda }}=\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {3}{2}},\ldots }{\displaystyle {\frac {x\sin \theta }{\lambda }}=\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {3}{2}},\ldots }{\displaystyle {\frac {x\sin \theta }{\lambda }}=\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {3}{2}},\ldots }{\displaystyle {\frac {x\sin \theta }{\lambda }}=\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {3}{2}},\ldots }{\displaystyle {\frac {x\sin \theta }{\lambda }}=\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {3}{2}},\ldots }}

      建設的な干渉は、波が位相にあるときに発生し、半サイクルの位相がずれているときに破壊的な干渉が発生します。 したがって、干渉縞パターンが生成され、最大値の分離は

      d f=π sin θ{\displaystyle d_{f}={\frac{\lambda}{\sin\theta}}}

      d_f=\frac{\lambda}{\sin\theta}

      であり、dfはフリンジ間隔として知られている。 フリンジ間隔は波長の増加とともに増加し，角度θの減少とともに増加した。

      フリンジは、二つの波が重なり合い、フリンジ間隔が全体にわたって均一であるところで観察される。

      二つの球面波の間編集

      異なる波長とソースの分離を持っている二つの点源間の光干渉。

      ポイントソースは球面波を生成します。 二つの点光源からの光が重なっている場合、干渉パターンは二つの波の間の位相差が空間で変化する方法をマッピングします。 これは、波長および点源の分離に依存する。 右の図は、二つの球面波の間の干渉を示しています。 波長は上から下に増加し、光源間の距離は左から右に増加する。

      観測面が十分に離れている場合、波はほぼ平面になるため、フリンジパターンはほぼ直線のシリーズになります。

      Multiple beamsEdit

      干渉は、観測時間にわたってそれらの間の位相差が一定であることを条件として、いくつかの波が一緒に追加されたときに発生します。

      同じ周波数と振幅のいくつかの波が合計してゼロになることが望ましいことがあります（つまり、破壊的に干渉し、キャンセルします）。

      同じ周波数と振幅の複数の波が合計してゼロになることがあります。 これは、例えば、三相パワーおよび回折格子の背後にある原理である。 これらの両方の場合において、結果は相の均一な間隔によって達成される。

      波のセットは、同じ振幅を持ち、それらの位相が角度で等間隔に配置されている場合にキャンセルされることは容易にわかります。

      波のセット フェーザを用いて、各波はe i φ n{\displaystyle Ae^{i\varphi_{n}}}

      A e^{i\varphi_n}

      n{\displaystyle N}

      n

      n=0{\displaystyle n=0}

      n=0

      to n=n−1{\displaystyle n=n-1}

      n=n-1

      ここで、φ n−Φ N−1=2π nである。 {\displaystyle\varphi_{n}-\varphi_{n-1}={\frac{2\pi}{N}}。{\displaystyle\varphi_{n}-\varphi_{n-1}={\frac{2\pi}{N}}}{\displaystyle\varphi_{n}}}

      {\displaystyle\varphi_{n}-\varphi_{n-1}={\frac{2\pi}{N}}。これは、∑sum_{n=0}A{N−1}Ae^{i\varphi_{n}}=0}\sum_{n=0}A{N-1}A e^{i\varphi_n}=0

      1つは単に仮定します逆に、両側にe i2≤nを乗算します。 {\displaystyle e^{i{\frac{2\pi}{N}}}。}

      {\displaystyle e^{i{\frac{2\pi}{N}}}。}