彼らは多くの用途を持っています！

簡単な例は、固有ベクトルが変換の方向を変えないことです。

それの数学

正方行列Aに対して、固有ベクトルと固有値はこの方程式を真にします。

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すぐにそれらを見つける方法を見ていきますが、最初に実際のものを見てみましょう：

Avは私たちを与えます：

=

はい、それらは等しいです！ だからAv=λ v約束したように。

行列にベクトルを乗算し、スカラー（単なる数値）にそのベクトルを乗算したときと同じ結果を得る方法に注意してください。どのように我々はこれらの固有のものを見つけるのですか？

まず、固有値を見つけることから始めます：この方程式は真でなければならないことがわかります:

Av=λv

現在ましょうを入れてアイデンティティマトリクスで取り扱っておりますマトリックスvs-マトリックス:

Av=λIv

すべてを左手側：

Av−λIv=0

このvが非ゼロにして解決のためのλを用の決定要因:

|A−λI|=0

だる方程式は、前回の例:

ここで、固有値を知っています。

乗算した後、これらの2つの方程式が得られます:

−6x + 3y	=	6x
4x + 5y	=	6y

Bringing all to left hand side:

−12x + 3y	=	0
4x − 1y	=	0

Either equation reveals that y = 4x, so the eigenvector is any non-zero multiple of this:

And we get the solution shown at the top of the page:

<..>

=

だからav=λ v

今では-7の他の固有値の固有ベクトルを見つけるためにあなたの番です

なぜ？これらの目的は何ですか？

クールなことの一つは、我々はコンピュータグラフィックスで多く使用されている空間での変換を行うために行列を使用することができます。その場合、固有ベクトルは「方向を変えない方向」です！

そして、固有値はストレッチのスケールです：

• 1は変化がないことを意味し、
• 2は長さが倍増することを意味し、
• -1は固有値の方向に沿って後方を指すことを意味します。

物理学などにも多くの応用があります。

なぜ”Eigen”

英語では”特性”という言葉を使用することがあるので、固有ベクトルは”特性ベクトル”と呼ぶことができます。

二次元だけでなく

固有ベクトルは3次元以上で完全にうまく動作します。

行列式はゼロに等しくなければなりません:

これは3次方程式になりますが、ここで見ると、根の1つが2（2−πのため）であり、角括弧の内側の部分は2次で、根は-1と8です。 したがって、固有値は-1、2、および8です。

2x	=	−x
4y + 5z	=	−y
4y + 3z	=	−z

Bringing all to left hand side:

3x	=	0
5y + 5z	=	0
4y + 4z	=	0

So x = 0, and y = −z and so the eigenvector is any non-zero multiple of this:

TEST Av:

p>とλ v:

ジャンプav=œv、イェーイ！

（あなたは2と8の固有値であなたの手を試すことができます）

回転

2Dの世界に戻って再び、この行列はπで回転を行います：

うわー、そのような簡単な答え！ これは30°を選んだからですか？

または、任意の回転行列で機能しますか？ 私はあなたがそれを動作させます！ 別の角度を試してみるか、”cos（θ）”と”sin（θ）”を使用してください。

ああ、私たちはそれらの解決策の少なくとも一つをチェックしてみましょう:

これは一致しますか？