Well-formed objectsEdit

オブジェクトのコレクション(シンボルとシンボルシーケンス)が”well-formed”とみなされる場合、”yes”または”no”の答えで停止することによって、オブジェクトがwell-formedであるかどうかを判断するアルゴリズムが存在しなければならない（数学ではwffはwell-formed formulaを省略する）。 このアルゴリズムは、極端に言えば、テープ上の「データ」として提示されたシンボル文字列を「解析」するTuring machineまたはTuringと同等のマシンを必要とするかもしれ; ユニバーサルチューリングマシンは、テープ上で命令を実行する前に、シンボルを解析して、そこにエンコードされた命令やデータの正確な性質を決定する必要があります。 より単純なケースでは、有限状態機械またはプッシュダウンオートマトンがその仕事をすることができます。 Endertonは、論理式（特に括弧付きの記号の列）が整形式であるかどうかを判断するために「木」を使用することを説明しています。 アロンゾ教会1934は、”式”の建設を説明しています（再び: 数式を開始し、連結と置換を使用して開始記号の上に構築する方法の再帰的な記述を使用して、彼のπ-calculusに書かれているように。

例：Churchは彼のσ-微積分を次のように指定しました（以下は自由変数と束縛変数の概念を省略した単純化されたバージョンです）。 この例は、オブジェクト理論がシンボルと関係のオブジェクトシステムの仕様から始まる方法を示しています（特にシンボルの連結を使用して）。

(1)シンボルを宣言します。{,},(,),∞、無限の数の変数a,b,c,…,x,… (2)式を定義する:記号の列(3)”基底”から再帰的に始まる”well-formed formula”(wff)の概念を定義する(3.(3.2)FとXがwffであれば、{F}(X)はwffであり、XがFまたはXに存在する場合、それは{F}(X)の変数であると言われます。(3.3)Mがwell-formedで、xがMに存在する場合、σ xはwffになります。(4)様々な略語を定義する:

• {F}は、Fが単一のシンボルであればF(X)と略記する
• F{\displaystyle{{f}}}
  

  は、fが単一のシンボルであれば{F}(X,Y)またはF(X,Y)と略記する

• λ x1λ x2である。..]を省略してφ x1x2にします。..xn*M
• λ ab•a(b)は1に短縮されます
• λ ab•a(a(b))は2に短縮されます。

(5)mを通して変数xに対する式Nの”置換”の概念を定義する(Church1936)

Undefined(primitive)objectsEdit

特定のオブジェクトは”undefined”または”primitive”であり、公理の導入によって定義を受けることができる。

次の例では、未定義の記号は{※,ↀ,∫}になります。 公理は彼らの行動を記述するでしょう。

公理編集

Kleeneは、公理は2組の記号で構成されていることを観察します：（i）未定義またはプリミティブオブジェクトと、以前に知られてい 次の例では、Oはオブジェクトの集合（”ドメイン”）を構成し、※はドメイン内のオブジェクト、σとσはオブジェクト間の関係のシンボルであり、=>は”IF THEN”論理演算子を示し、σは”集合Oの要素である”ことを示すシンボルであり、”n”はオブジェクト集合Oの任意の要素を示すために使用されることが以前に知られていた。

(i)に定義の”文字列S”オブジェクトであるシンボル※連結号※,ↀは∫、および(ii)の定義の”形”の文字列–(ベース)※ↀS,∫%以下であること任意の文字列は、の公理:

• ↀ※=>※は、単語: “の場合ↀ用オブジェクト※そのオブジェクト※ます。つまり、”oの任意のオブジェクト”n”にσが適用される場合、このオブジェクト”n”はOの要素です”。
• σ n∈O、”σがOの任意のオブジェクト”n”に適用される場合、このオブジェクトσ nはOの要素です”。
• ↀ ∫n=>n、”ↀがオブジェクト∫nに適用された場合、オブジェクトnの結果。”
• σ n=>n、”Σがオブジェクトσ nに適用された場合、オブジェクトnが結果になります。では、これらの記号、定義、公理の（意図された）解釈は何でしょうか？※を”0″、∫を”後継者”、ↀを”先行者”と定義すると、ↀ※=>※は”適切な減算”を示します（”先行者”は数値から単位を減算するため、0≤1=0という記号で指定されること 文字列”div n=>n”は、最初に後続が任意のオブジェクトnに適用され、次に先行するↀが∫nに適用されると、元のnが結果として適用されることを示 この公理の集合は「適切」ですか？ 適切な答えは質問です：「特に何を記述するのに十分ですか？”公理は、理論の外から定義されたどのシステムに、理論が適用されるかを決定する。”（クリーネ1952:27）。 言い換えれば、公理はあるシステムでは十分であるかもしれませんが、別のシステムでは十分ではありません。

  実際、この公理集合はあまり良いものではないことが容易にわかります—実際、矛盾しています（つまり、その解釈が何であれ、矛盾した結果が得られま 最初の公理から、λ※=0なので、λ※=λ0=1です。 しかし、最後の公理は、※=0を含む任意のnに対して、λ n=>nと指定しているため、この公理はλ0=>0、1ではないと規定しています。 公理集合が∫n∈nを指定していないことも観察してください。 これらの2つの公理を含める場合は、=で象徴される直感的な概念”equals”とπで象徴されるnot-equalsを記述する必要があります。