Ils ont de nombreuses utilisations!

Un exemple simple est qu’un vecteur propre ne change pas de direction dans une transformation:

Les Mathématiques de celui-ci

Pour une matrice carrée A, un vecteur Propre et une Valeur Propre rendent cette équation vraie:

Nous verrons bientôt comment les trouver (s’ils peuvent être trouvés), mais voyons d’abord en action:

λv nous donne :

Oui, ils sont égaux! Donc Av = λv comme promis.

Remarquez comment nous multiplions une matrice par un vecteur et obtenons le même résultat que lorsque nous multiplions un scalaire (juste un nombre) par ce vecteur.

Comment trouver ces choses propres ?

On commence par trouver la valeur propre : on sait que cette équation doit être vraie:

Av= λv

Maintenant, mettons une matrice d’identité afin que nous ayons affaire à matrix-vs-matrix:

Av= λIv

Amenez tout à gauche:

Av−λIv = 0

Si v est non nul, nous pouvons résoudre pour λ en utilisant uniquement le déterminant:

|A-λI|= 0

Essayons cela équation sur notre exemple précédent :

Maintenant que nous connaissons les valeurs propres, trouvons leurs vecteurs propres correspondants.

Après la multiplication, nous obtenons ces deux équations:

−6x + 3y	=	6x
4x + 5y	=	6y

Bringing all to left hand side:

−12x + 3y	=	0
4x − 1y	=	0

Either equation reveals that y = 4x, so the eigenvector is any non-zero multiple of this:

And we get the solution shown at the top of the page:

… et aussi…

So Av=λv

Maintenant, c’est à vous de trouver le vecteur propre pour l’autre valeur propre de -7

Pourquoi ?

Quel est le but de ceux-ci?

Une des choses intéressantes est que nous pouvons utiliser des matrices pour faire des transformations dans l’espace, ce qui est beaucoup utilisé en infographie.

Dans ce cas, le vecteur propre est « la direction qui ne change pas de direction »!

Et la valeur propre est l’échelle de l’étirement:

• 1 signifie pas de changement,
• 2 signifie doubler de longueur,
• -1 signifie pointer vers l’arrière le long de la direction de la valeur propre

Il existe également de nombreuses applications en physique, etc.

Pourquoi « Eigen »

Parfois en anglais, nous utilisons le mot « caractéristique », donc un vecteur propre peut être appelé un « vecteur caractéristique ».

Pas seulement deux dimensions

Les vecteurs propres fonctionnent parfaitement dans les dimensions 3 et supérieures.

div>

>

Maintenant, le déterminant doit être égal à zéro:

Qui est:

(2−λ) = 0

Cela finit par être une équation cubique, mais en la regardant ici, nous voyons une des racines est 2 (à cause de 2−λ), et la partie à l’intérieur des crochets est quadratique, avec des racines de -1 et 8.

Donc les valeurs propres sont -1, 2 et 8

Après la multiplication, nous obtenons ces équations:

2x	=	−x
4y + 5z	=	−y
4y + 3z	=	−z

Bringing all to left hand side:

3x	=	0
5y + 5z	=	0
4y + 4z	=	0

So x = 0, and y = −z and so the eigenvector is any non-zero multiple of this:

TEST Av:

Et λv:

Jump Av= λv, yay!

(Vous pouvez vous essayer aux valeurs propres des 2 et 8)

Rotation

De retour dans le monde 2D, cette matrice fera la rotation par θ:

div>

Après avoir multiplié, nous obtenons ces deux équations:

√32x−12y = √32x + i2x

12x + √32y = √32y +i2y

Qui se simplifient en :

−y = ix

x=iy

Et la solution est tout octet non nul de:

ou

Wow, une réponse si simple!

Est-ce juste parce que nous avons choisi 30°? Ou cela fonctionne-t-il pour n’importe quelle matrice de rotation? Je vais te laisser régler ça! Essayez un autre angle, ou mieux encore utilisez « cos(θ) » et « sin(θ) ».

Oh, et vérifions au moins une de ces solutions:

Cela correspond-il à cela?

Oh oui c’est le cas!