Définitions

Le moment d’inertie d’une section I / H peut être trouvé si la surface totale est divisée en trois, plus petites, A, B, C, comme le montre la figure ci-dessous. La zone finale, peut être considérée comme la combinaison additive de A + B + C. Cependant, puisque les brides sont égales, une combinaison plus simple peut être (A + B + C + 2V) -2V. Par conséquent, le moment d’inertie Ix de la section I / H, par rapport à l’axe centroïde x-x, est déterminé comme ceci:

I_x= \frac {b h^3}{12} – \frac{(b-t_w)(h-2t_f)^3}{12}

où h la hauteur de la section, b la largeur des brides, tf l’épaisseur des brides et tw l’épaisseur de la bande.

Le moment d’inertie Iy de la section I/H, par rapport à l’axe y-y centroïde, est trouvé par:

I_y=\frac {(h-2t_f) t_w^3}{12} +2\frac{t_f b^3}{12}

Théorème des axes parallèles

Le moment d’inertie de toute forme, par rapport à un axe arbitraire non centroïde, peut être trouvé si son moment d’inertie par rapport à un axe centroïde, parallèle au premier, est connu. Le Théorème dit des Axes Parallèles est donné par l’équation suivante:

I’= I + A d^2

où I’ est le moment d’inertie par rapport à un axe arbitraire, I le moment d’inertie par rapport à un axe centroïde, parallèle au premier, d la distance entre les deux axes parallèles et A l’aire de la forme, égale à 2b t_f +(h-2t_f)t_w, dans le cas d’une section I/H à brides égales.

Pour le produit de l’inertie Ixy, le théorème des axes parallèles prend une forme similaire:

I_{xy’} = I_{xy} + A d_{x}d_{y}

où Ixy est le produit de l’inertie, par rapport aux axes centroïdaux x, y (= 0 pour la section I/H, du fait de la symétrie), et Ixy’ est le produit de l’inertie, par rapport aux axes parallèles aux axes centroïdaux x, y, ayant des décalages d’eux respectivement d_{x} et d_{y}.

Axes tournés

Pour la transformation des moments d’inertie d’un système d’axes x, y à un autre u, v, tourné d’un angle φ, les équations suivantes sont utilisées:

\begin{split} I_u &=\frac{I_x+I_y}{2}+\frac{I_x-I_y}{2}\cos{2\varphi}- I_{xy}\sin{2\varphi}\\I_v &=\ frac{I_x+I_y}{2} -\frac{I_x-I_y}{2}\cos{2\varphi} +I_{xy}\sin{2\varphi}\\I_{uv}&= \frac{I_x-I_y}{2}\sin{2\varphi}+I_{xy}\cos{2\ varphi}\end {split}

où Ix, Iy les moments d’inertie autour des axes initiaux et Ixy le produit de l’inertie. Iu, Iv et Iuv sont les grandeurs respectives des axes de rotation u, v. Le produit de l’inertie Ixy d’une section I/H à brides égales, autour des axes centroïdaux x, y, est nul, car x et y sont également des axes de symétrie.

Axes principaux

Dans les axes principaux, qui sont tournés d’un angle θ par rapport aux axes centraux originaux x, y, le produit de l’inertie devient nul. De ce fait, tout axe de symétrie de la forme, est également un axe principal. Les moments d’inertie autour des axes principaux, I_I, I_{II} sont appelés moments d’inertie principaux, et sont les moments maximum et minimum, pour tout angle de rotation du système de coordonnées. Pour une section I/H à brides égales, x et y sont des axes de symétrie et définissent donc les axes principaux de la forme. En conséquence, Ix et Iy sont les principaux moments d’inertie.

Dimensions

Les dimensions du moment d’inertie (deuxième moment d’aire) sont ^4.

Moment d’inertie de masse

En physique, le terme moment d’inertie a une signification différente. Elle est liée à la distribution de masse d’un objet (ou de plusieurs objets) autour d’un axe. Ceci est différent de la définition généralement donnée dans les disciplines d’ingénierie (également dans cette page) en tant que propriété de l’aire d’une forme, généralement une section transversale, autour de l’axe. Le terme deuxième moment d’aire semble plus précis à cet égard.

Applications

Le moment d’inertie (deuxième moment ou aire) est utilisé en théorie du faisceau pour décrire la rigidité d’un faisceau contre la flexion (voir théorie de la flexion du faisceau). Le moment de flexion M appliqué à une section transversale est lié à son moment d’inertie avec l’équation suivante:

M= E\times I\times\kappa

où E est le module de Young, une propriété du matériau, et κ la courbure de la poutre due à la charge appliquée. La courbure du faisceau κ décrit l’étendue de la flexion du faisceau et peut être exprimée en termes de déviation du faisceau w(x) le long de l’axe longitudinal du faisceau x, comme suit: \kappa = \frac {d^2 w(x)} {dx^2}. Par conséquent, on peut voir à partir de la première équation, que lorsqu’un certain moment de flexion M est appliqué à une section transversale de poutre, la courbure développée est inversement proportionnelle au moment d’inertie I. En intégrant les courbures sur la longueur du faisceau, la déviation, à un certain point le long de l’axe des abscisses, devrait également être inversement proportionnelle à I.