Rational Exponents

Learning Objective(s)

· Convert radicals to expressions with rational exponents.

· Convert expressions with rational exponents to their radical equivalent.

· Use the laws of exponents to simplify expressions with rational exponents.

· Use rational exponents to simplify radical expressions.

Les racines carrées sont le plus souvent écrites en utilisant un signe radical, comme ceci, . Mais il existe une autre façon de représenter la prise d’une racine. Vous pouvez utiliser des exposants rationnels au lieu d’un radical. Un exposant rationnel est un exposant qui est une fraction. Par exemple, peut être écrit comme .

Vous ne pouvez pas imaginer élever un nombre à un exposant rationnel? Ils peuvent être difficiles à s’y habituer, mais les exposants rationnels peuvent en fait aider à simplifier certains problèmes. Explorons la relation entre les exposants rationnels (fractionnaires) et les radicaux.

Les radicaux et les exposants fractionnaires sont des moyens alternatifs d’exprimer la même chose. Vous avez déjà vu comment les racines carrées peuvent être exprimées en exposant à la puissance de la moitié.

Let’s look at some more examples, but this time with cube roots. Rappelez-vous, le cubage d’un nombre l’élève à la puissance de trois. Notez que dans ces exemples, le dénominateur de l’exposant rationnel est le nombre 3.

These examples help us model a relationship between radicals and exposants rationnels : à savoir que la nième racine d’un nombre peut être écrite comme ou .

When faced with an expression contenant un exposant rationnel, vous pouvez le réécrire à l’aide d’un radical. Dans le tableau ci-dessus, remarquez comment le dénominateur de l’exposant rationnel détermine l’indice de la racine. Ainsi, un exposant de se traduit par la racine carrée, un exposant de se traduit par la cinquième racine ou , et se traduit par la huitième racine ou .

Rappelez-vous que les exposants ne font référence qu’à la quantité immédiatement à leur gauche, sauf si un symbole de regroupement est utilisé. L’exemple ci-dessous ressemble beaucoup à l’exemple précédent avec une différence importante — il n’y a pas de parenthèses! Regarde ce qui se passe.

Just as you can rewrite an expression with a rational exponent as a radical expression, you can express a radical expression using a rational exponent.

Tous les les numérateurs pour les exposants fractionnaires dans les exemples ci-dessus étaient 1. Vous pouvez utiliser des exposants fractionnaires qui ont des numérateurs autres que 1 pour exprimer des racines, comme indiqué ci-dessous. Remarquez des motifs dans ce tableau?

Pour réécrire un radical en utilisant un exposant fractionnaire, la puissance à laquelle le radicand est élevé devient le numérateur et la racine devient le dénominateur.

Écriture d’exposants fractionnaires

Tout radical sous la forme peut être écrit en utilisant un exposant fractionnaire sous la forme .

La relation entre et fonctionne également pour les exposants rationnels qui ont un numérateur de 1. Par exemple, le radical peut également être écrit comme , car tout nombre reste la même valeur s’il est élevé à la première puissance. Vous pouvez maintenant voir d’où vient le numérateur de 1 sous la forme équivalente de .

Explorons maintenant certaines expressions radicales et voyons comment les simplifier. Voici une expression radicale qui doit être simplifiée, .

Une méthode de simplification de cette expression consiste à factoriser et à extraire des groupes de a3, comme indiqué ci-dessous dans cet exemple.

Vous pouvez également simplifier cette expression en considérant le radical comme une expression avec un exposant rationnel, et en utilisant le principe que tout radical sous la forme peut être écrit en utilisant un exposant fractionnaire sous la forme .

Note that rational exponents are subject to all of the same rules as other exponents when they appear in algebraic expressions.

Les deux méthodes de simplification ont donné le même résultat, a2. Selon le contexte du problème, il peut être plus facile d’utiliser une méthode ou l’autre, mais pour l’instant, vous remarquerez que vous avez pu simplifier cette expression plus rapidement en utilisant des exposants rationnels que lors de l’utilisation de la méthode « pull-out”.

Essayons un autre exemple.

Encore une fois, la méthode alternative consiste à travailler sur la simplification sous le radical en utilisant l’affacturage. Pour l’exemple que vous venez de résoudre, cela ressemble à ceci.

Which of the expressions below is equal to the expression when written using a rational exponent?

A)

B)

C)

D)

Essayons une expression plus compliquée, . Cette expression a deux variables, une fraction et un radical. Prenons-le étape par étape et voyons si l’utilisation d’exposants fractionnaires peut nous aider à le simplifier.

Commençons par simplifier le dénominateur, car c’est là que se trouve le signe radical.

Eh bien, cela a pris un certain temps, mais vous l’avez fait. Vous avez appliqué ce que vous savez sur les exposants fractionnaires, les exposants négatifs et les règles des exposants pour simplifier l’expression.

Un radical peut être exprimé comme une expression avec un exposant fractionnaire en suivant la convention . La réécriture des radicaux à l’aide d’exposants fractionnaires peut être utile pour simplifier certaines expressions radicales. Lorsque vous travaillez avec des exposants fractionnaires, n’oubliez pas que les exposants fractionnaires sont soumis à toutes les mêmes règles que les autres exposants lorsqu’ils apparaissent dans des expressions algébriques.