La distribution normale CDF et son inverse ne sont pas disponibles sous forme fermée, et le calcul nécessite une utilisation prudente des procédures numériques. Cependant, les fonctions sont largement disponibles dans les logiciels de modélisation statistique et de probabilité et dans les feuilles de calcul. Dans Microsoft Excel, par exemple, la fonction probit est disponible en tant que norme.s. inv (p). Dans les environnements informatiques où des implémentations numériques de la fonction d’erreur inverse sont disponibles, la fonction probit peut être obtenue sous la forme

probit ⁡(p) = 2 erf-1 ⁡ (2 p-1). {\displaystyle\nom de l’opérateur {probit}(p) = {\sqrt{2}}\, \nom de l’opérateur {erf}^{-1}(2p-1).}

Un exemple est MATLAB, où une fonction ‘erfinv’ est disponible. Le langage Mathematica implémente ‘InverseErf’. D’autres environnements implémentent directement la fonction probit comme indiqué dans la session suivante dans le langage de programmation R.

> qnorm(0.025) -1.959964> pnorm(-1.96) 0.02499790

Les détails du calcul de la fonction d’erreur inverse peuvent être trouvés sur. Wichura donne un algorithme rapide pour calculer la fonction probit à 16 décimales; ceci est utilisé dans R pour générer des variations aléatoires pour la distribution normale.

Une équation différentielle ordinaire pour la fonction probitdit

Un autre moyen de calcul est basé sur la formation d’une équation différentielle ordinaire non linéaire (ODE) pour probit, selon la méthode de Steinbrecher et Shaw. En abrégeant la fonction probit comme w(p) {\displaystyle w(p)}

, l’ODE est d w d p = 1 f(w) {\displaystyle {\frac{dw}{dp}} = {\frac{1} {f(w)}}}

où f(w) {\displaystyle f(w)}

est la fonction de densité de probabilité de w.

Dans le cas de la Gaussienne:

d d p = 2 π e w 2 2 {\displaystyle {\frac {dw}{dp}} = {\sqrt{2\pi}}\e ^ {\frac{w^{2}}{2}}}

Différencier à nouveau:

d 2 w d p 2 = w (d w d p) 2 {\displaystyle {\frac {d^{2} w} {dp^{2}}} = w \gauche ({\frac{dw} {dp}} \ droite) ^{2}}

avec les conditions centrales (initiales)

w ( 1 / 2 ) = 0 , {\ displaystyle w\left(1/2\right) = 0, }

w'(1/ 2) = 2 π. {\displaystyle w’\left(1/2\right) = {\sqrt{2\pi}}.}

Cette équation peut être résolue par plusieurs méthodes, y compris l’approche classique des séries de puissance. À partir de là, des solutions d’une précision arbitrairement élevée peuvent être développées sur la base de l’approche de Steinbrecher de la série pour la fonction d’erreur inverse. La solution de la série de puissance est donnée par

w(p) = π 2 ∑ k = 0 ∞ d k(2 k +1) (2 p−1) (2 k +1) {\displaystyle w(p) = {\sqrt {\frac{\pi}{2}}} \sum _{k = 0} ^{\infty} {\frac {d_{k}} {(2k+1)}} (2p-1) ^{(2k+1) }}