Le livre 1 des Éléments commence par de nombreuses définitions suivies des fameux cinq postulats. Ensuite, avant qu’Euclide ne commence à prouver des théorèmes, il donne une liste de notions communes. Les premières définitions sont:

Les postulats sont ceux de construction tels que:

On peut tracer une ligne droite de n’importe quel point à n’importe quel point.

Les notions communes sont des axiomes tels que:

Les choses égales à la même chose sont également égales les unes aux autres.

Nous devrions noter certaines choses.

1. Euclide semble définir deux fois un point (définitions 1 et 3) et deux fois une droite (définitions 2 et 4). C’est assez étrange.
2. Euclide n’utilise jamais les définitions et n’y fait jamais référence dans le reste du texte.
3. Certains concepts ne sont jamais définis. Par exemple, il n’y a pas de notion d’ordre des points sur une ligne, donc l’idée qu’un point est entre deux autres n’est jamais définie, mais bien sûr elle est utilisée.
4. Comme nous l’avons noté dans les nombres réels: Pythagore à Stevin, le livre V des Éléments considère les grandeurs et la théorie de la proportion des grandeurs. Cependant Euclide laisse le concept de grandeur indéfini et cela semble aux lecteurs modernes comme si Euclide n’avait pas réussi à établir des grandeurs avec la rigueur pour laquelle il est célèbre.
5. Quand Euclide introduit les grandeurs et les nombres, il donne quelques définitions mais pas de postulats ou de notions communes. Par exemple, on pourrait s’attendre à ce qu’Euclide postulât a + b = b+ a, (a+b) + c = a + (b+c) a + b = b + a, (a+b) + c = a + (b+c) a +b = b + a, (a+b) +c = a +(b+c), etc., mais il ne le fait pas.
6. Quand Euclide introduit les nombres dans le Livre VII, il en fait une définition assez similaire à celle de base au début du Livre I:
   Une unité est celle en vertu de laquelle chacune des choses qui existent est appelée une.

Certains historiens ont suggéré que la différence entre la façon dont les définitions de base se produisent au début du Livre I et du Livre V n’est pas parce qu’Euclide était moins rigoureux dans le Livre V, ils suggèrent plutôt qu’Euclide a toujours laissé ses concepts de base indéfinis et que les définitions au début du Livre I sont des ajouts ultérieurs. Quelles sont les preuves de cela?
Le premier commentaire serait que cela expliquerait pourquoi Euclide ne se réfère jamais aux définitions de base. S’ils n’étaient pas dans le texte qu’Euclide a écrit, bien sûr, il ne pourrait pas s’y référer. Le point suivant à noter est qu’ils sont très similaires au travail qui est attribué à Héron appelé Définitions de termes en géométrie. Il contient 133 définitions de termes géométriques commençant par des points, des lignes, etc. qui sont très proches de celles données par Euclide. Dans Knorr soutient de manière convaincante que ce travail est en fait dû à Diophante. Le point ici est le suivant. Les définitions de termes en géométrie sont-elles basées sur les Éléments d’Euclide ou les définitions de base de ce travail ont-elles été insérées dans des versions ultérieures des Éléments?

Nous devons considérer ce que Sextus Empiricus dit des définitions. Notez d’abord que Sextus a écrit environ 200 après JC et on croyait jusqu’à relativement récemment que Héron vivait plus tard que cela. Si tel était le cas, alors, bien sûr, Sextus n’aurait pas pu faire référence à quoi que ce soit écrit par Héron. Cependant, plus récemment, Héron a été daté du premier siècle de notre ère et cela nous dit que Sextus a écrit après Héron. L’autre partie du puzzle que nous devons considérer ici est la première version des éléments d’Euclide à trouver. Lorsque le Vésuve est entré en éruption en 79 après JC, Herculanum avec Pompéi et Stabiae, a été détruit. Herculanum a été enseveli par une masse compacte de matériaux d’environ 16 m de profondeur qui a préservé la ville jusqu’au début des fouilles au 18ème siècle. Les conditions particulières d’humidité du sol ont conservé le bois, les tissus, les aliments, et en particulier les papyrus qui nous donnent des informations importantes. Un papyrus trouvé là contient des fragments des Éléments et a été clairement écrit avant 79 après JC. Comme Philodème, un élève de Zénon de Sidon, y a emporté sa bibliothèque de papyrus peu après 75 av.J.-C., la version des Éléments est probablement d’environ cette date.
Revenons à Sextus qui écrit à propos des « mathématiciens décrivant des entités géométriques » et il est intéressant de noter que le mot « décrivant » n’est pas utilisé dans Les Éléments mais est utilisé par Héron dans les Définitions de termes en géométrie. Encore une fois, les descriptions qu’il donne sont plus proches des mots exacts apparaissant dans Héron que ceux d’Euclide. Quand Sextus donne « la définition d’un cercle », il utilise le mot « définition » qui est celui d’Euclide. Sextus cite la définition précise d’un cercle qui apparaît dans le fragment d’Herculanum. Cela n’inclut pas de définition de « circonférence » bien qu’Euclide utilise la notion de circonférence d’un cercle. Les versions ultérieures des Éléments qui nous sont parvenus incluent une définition de « circonférence » dans la définition d’un cercle.
Rien de ce qui précède ne prouve si les définitions de base des objets géométriques ont été ajoutées aux Éléments ultérieurement. Ils montrent de manière assez convaincante que la définition d’un cercle a été étendue pour inclure la définition de la circonférence dans les éditions ultérieures du livre. L’hypothèse est que Sextus a devant lui les Éléments et les Définitions de termes en géométrie lorsqu’il écrit et qu’il utilise le mot « décrire » lorsqu’il se réfère à Héron et « définir » lorsqu’il se réfère à Euclide. Même si cela est correct, cela ne prouve toujours pas que la version des Éléments assis devant Sextus ne contient pas de définitions de base des objets géométriques, mais cela rend une telle possibilité au moins intéressante à débattre. Qu’en penses-tu?
Un dernier point à considérer. Nous avons cité ci-dessus:

Def. 1.4. Une ligne droite se trouve également par rapport aux points sur elle-même.

Qu’est-ce que cela signifie? Cela semble une description étrange à donner à Euclide, car elle semble dénuée de sens. Comparez-la à la définition d’une ligne droite dans les définitions de termes en géométrie:

Une ligne droite est une ligne qui, également par rapport à tous les points sur elle-même, est droite et tendue au maximum entre ses extrémités.

Encore une fois, nous demandons au lecteur: pensez-vous que la définition apparaissant dans Les Éléments est une corruption de la définition de Héron et a donc été ajoutée plus tard, ou pensez-vous qu’Euclide a donné une définition plutôt pauvre qui a été améliorée par Héron? Pourquoi ne pas utiliser la définition d’une ligne droite comme la distance la plus courte entre deux points?