Introduction

Les équations mathématiques ne sont pas seulement utiles — beaucoup sont très belles. Et de nombreux scientifiques admettent qu’ils aiment souvent des formules particulières non seulement pour leur fonction, mais pour leur forme et les vérités simples et poétiques qu’elles contiennent.

Alors que certaines équations célèbres, telles que E = mc^2 d’Albert Einstein, monopolisent l’essentiel de la gloire publique, de nombreuses formules moins familières ont leurs champions parmi les scientifiques. LiveScience a demandé aux physiciens, astronomes et mathématiciens leurs équations préférées; voici ce que nous avons trouvé:

Relativité générale

L’équation ci-dessus a été formulée par Einstein dans le cadre de sa théorie générale révolutionnaire de la relativité en 1915. La théorie a révolutionné la façon dont les scientifiques comprenaient la gravité en décrivant la force comme une déformation du tissu de l’espace et du temps.

« Il est toujours étonnant pour moi qu’une telle équation mathématique puisse décrire ce qu’est l’espace-temps », a déclaré Mario Livio, astrophysicien du Space Telescope Science Institute, qui a désigné l’équation comme sa préférée. « Tout le vrai génie d’Einstein est incarné dans cette équation. »

« Le côté droit de cette équation décrit le contenu énergétique de notre univers (y compris « l’énergie noire » qui propulse l’accélération cosmique actuelle) », a expliqué Livio.  » Le côté gauche décrit la géométrie de l’espace-temps. L’égalité reflète le fait que dans la relativité générale d’Einstein, la masse et l’énergie déterminent la géométrie, et concomitamment la courbure, qui est une manifestation de ce que nous appelons la gravité. »

« C’est une équation très élégante », a déclaré Kyle Cranmer, physicien à l’Université de New York, ajoutant que l’équation révèle la relation entre l’espace-temps et la matière et l’énergie. « Cette équation vous explique comment ils sont liés – comment la présence du soleil déforme l’espace-temps pour que la Terre se déplace autour d’elle en orbite, etc. Il vous indique également comment l’univers a évolué depuis le Big Bang et prédit qu’il devrait y avoir des trous noirs. »

Le Modèle standard

Une autre des théories dominantes de la physique, le modèle standard décrit la collection de particules fondamentales actuellement considérées comme constituant notre univers.

La théorie peut être encapsulée dans une équation principale appelée le modèle standard Lagrangien (du nom du mathématicien et astronome français du 18ème siècle Joseph Louis Lagrange), qui a été choisie par le physicien théoricien Lance Dixon du SLAC National Accelerator Laboratory en Californie comme formule préférée.

« Il a décrit avec succès toutes les particules élémentaires et les forces que nous avons observées en laboratoire à ce jour — à l’exception de la gravité », a déclaré Dixon à LiveScience. « Cela inclut, bien sûr, le boson de Higgs (comme) récemment découvert, phi dans la formule. Il est entièrement compatible avec la mécanique quantique et la relativité restreinte. »

La théorie du modèle standard n’a cependant pas encore été unie à la relativité générale, c’est pourquoi elle ne peut pas décrire la gravité.

Calculus

Alors que les deux premières équations décrivent des aspects particuliers de notre univers, une autre équation préférée peut être appliquée à toutes sortes de situations. Le théorème fondamental du calcul constitue l’épine dorsale de la méthode mathématique connue sous le nom de calcul, et relie ses deux idées principales, le concept de l’intégrale et le concept de la dérivée.

 » En termes simples, dit que le changement net d’une quantité lisse et continue, telle qu’une distance parcourue, sur un intervalle de temps donné (i.e. la différence dans les valeurs de la quantité aux extrémités de l’intervalle de temps) est égale à l’intégrale du taux de changement de cette quantité, c’est-à-dire l’intégrale de la vitesse « , a déclaré Melkana Brakalova-Trevithick, présidente du département de mathématiques de l’Université Fordham, qui a choisi cette équation comme sa préférée. « Le théorème fondamental du calcul (FTC) nous permet de déterminer le changement net sur un intervalle en fonction du taux de changement sur tout l’intervalle. »

Les graines du calcul ont commencé dans les temps anciens, mais une grande partie a été mise en place au 17ème siècle par Isaac Newton, qui a utilisé le calcul pour décrire les mouvements des planètes autour du soleil.

Théorème de Pythagore

Une équation « ancienne mais géniale » est le célèbre théorème de Pythagore, que chaque étudiant débutant en géométrie apprend.

Cette formule décrit comment, pour tout triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse, c, (le côté le plus long d’un triangle rectangle) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (a et b). Ainsi, a ^2 + b ^ 2 = c ^ 2

« Le tout premier fait mathématique qui m’a étonné était le théorème de Pythagore », a déclaré la mathématicienne Daina Taimina de l’Université Cornell. « J’étais un enfant à l’époque et cela me semblait tellement incroyable que cela fonctionne en géométrie et cela fonctionne avec les nombres! »

1 = 0,999999999….

Cette équation simple, qui stipule que la quantité 0,999, suivie d’une chaîne infinie de neuf, est équivalent à un, est le favori du mathématicien Steven Strogatz de l’Université Cornell.

« J’aime à quel point c’est simple — tout le monde comprend ce qu’il dit — mais à quel point c’est provocateur », a déclaré Strogatz. « Beaucoup de gens ne croient pas que cela puisse être vrai. Il est également magnifiquement équilibré. Le côté gauche représente le début des mathématiques; le côté droit représente les mystères de l’infini. »

Relativité restreinte

Einstein fait à nouveau la liste avec ses formules pour la relativité restreinte, qui décrit comment le temps et l’espace ne sont pas des concepts absolus, mais sont plutôt relatifs en fonction de la vitesse de l’observateur. L’équation ci-dessus montre comment le temps se dilate ou ralentit, plus une personne se déplace rapidement dans n’importe quelle direction.

« Le fait est que c’est vraiment très simple « , a déclaré Bill Murray, physicien des particules au laboratoire du CERN à Genève. « Il n’y a rien qu’un étudiant de niveau A ne puisse faire, pas de dérivées complexes et d’algèbres de traces. Mais ce qu’il incarne, c’est une toute nouvelle façon de regarder le monde, toute une attitude face à la réalité et à notre rapport à celle-ci. Soudain, le cosmos immuable et rigide est balayé et remplacé par un monde personnel, lié à ce que vous observez. Vous passez d’être en dehors de l’univers, en regardant vers le bas, à l’une des composantes à l’intérieur de celui-ci. Mais les concepts et les mathématiques peuvent être saisis par quiconque le souhaite. »

Murray a dit qu’il préférait les équations de la relativité restreinte aux formules plus compliquées de la théorie ultérieure d’Einstein. « Je ne pourrais jamais suivre les mathématiques de la relativité générale », a-t-il déclaré.

Équation d’Euler

Cette formule simple encapsule quelque chose de pur dans la nature des sphères:

« Il est dit que si vous découpez la surface d’une sphère en faces, arêtes et sommets, et que F soit le nombre de faces, E le nombre d’arêtes et V le nombre de sommets, vous obtiendrez toujours V –E + F = 2 », a déclaré Colin Adams, mathématicien au Williams College dans le Massachusetts.

« Prenons par exemple un tétraèdre composé de quatre triangles, six arêtes et quatre sommets », a expliqué Adams. « Si vous souffliez fort dans un tétraèdre à faces flexibles, vous pourriez l’arrondir en une sphère, donc dans ce sens, une sphère peut être coupée en quatre faces, six arêtes et quatre sommets. Et nous voyons que V -E + F = 2. Il en va de même pour une pyramide à cinq faces — quatre triangulaires et un carré — huit arêtes et cinq sommets « , et toute autre combinaison de faces, d’arêtes et de sommets.

« Un fait très cool! La combinatoire des sommets, des arêtes et des faces capture quelque chose de très fondamental dans la forme d’une sphère « , a déclaré Adams.

Équations d’Euler-Lagrange et théorème de Noether

« Ce sont assez abstraits, mais incroyablement puissants », a déclaré Cranmer de NYU. « Ce qui est cool, c’est que cette façon de penser la physique a survécu à certaines révolutions majeures de la physique, comme la mécanique quantique, la relativité, etc. »

Ici, L représente le Lagrangien, qui est une mesure de l’énergie dans un système physique, tel que des ressorts, des leviers ou des particules fondamentales. « Résoudre cette équation vous indique comment le système évoluera avec le temps », a déclaré Cranmer.

Un dérivé de l’équation du Lagrangien est appelé théorème de Noether, d’après le mathématicien allemand Emmy Noether du 20ème siècle. « Ce théorème est vraiment fondamental pour la physique et le rôle de la symétrie », a déclaré Cranmer. « De manière informelle, le théorème est que si votre système a une symétrie, il existe une loi de conservation correspondante. Par exemple, l’idée que les lois fondamentales de la physique sont les mêmes aujourd’hui que demain (symétrie temporelle) implique que l’énergie est conservée. L’idée que les lois de la physique sont les mêmes ici que dans l’espace implique que l’élan est conservé. La symétrie est peut-être le concept moteur en physique fondamentale, principalement en raison de la contribution. »

L’équation de Callan-Symanzik

« Le Callan- L’équation de Symanzik est une équation vitale des premiers principes de 1970, essentielle pour décrire comment les attentes naïves échoueront dans un monde quantique « , a déclaré le physicien théoricien Matt Strassler de l’Université Rutgers.

L’équation a de nombreuses applications, notamment en permettant aux physiciens d’estimer la masse et la taille du proton et du neutron, qui constituent les noyaux des atomes.

La physique fondamentale nous dit que la force gravitationnelle, et la force électrique, entre deux objets est proportionnelle à l’inverse de la distance qui les sépare au carré. Sur un plan simple, il en va de même pour la force nucléaire forte qui lie les protons et les neutrons ensemble pour former les noyaux des atomes, et qui lie les quarks ensemble pour former les protons et les neutrons. Cependant, de minuscules fluctuations quantiques peuvent légèrement modifier la dépendance d’une force à la distance, ce qui a des conséquences dramatiques pour la force nucléaire forte.

« Cela empêche cette force de diminuer sur de longues distances et l’amène à piéger les quarks et à les combiner pour former les protons et les neutrons de notre monde », a déclaré Strassler. « Ce que fait l’équation de Callan-Symanzik, c’est de relier cet effet dramatique et difficile à calculer, important lorsqu’il a à peu près la taille d’un proton, à des effets plus subtils mais plus faciles à calculer qui peuvent être mesurés lorsqu’il est beaucoup plus petit qu’un proton. »

L’équation de surface minimale

« L’équation de surface minimale code en quelque sorte les beaux films de savon qui se forment sur limites de fil lorsque vous les trempez dans de l’eau savonneuse « , a déclaré le mathématicien Frank Morgan du Williams College. « Le fait que l’équation soit « non linéaire », impliquant des puissances et des produits de dérivés, est l’indice mathématique codé du comportement surprenant des films de savon. Cela contraste avec des équations aux dérivées partielles linéaires plus familières, telles que l’équation de chaleur, l’équation d’onde et l’équation de Schrödinger de la physique quantique. »