e (Nombre d’Euler)
Le nombre e est l’un des nombres les plus importants en mathématiques.
Les premiers chiffres sont :
2.7182818284590452353602874713527 (et plus…)
Il est souvent appelé numéro d’Euler d’après Leonhard Euler (prononcé « Huileur »).
e est un nombre irrationnel (il ne peut pas être écrit comme une simple fraction).
e est la base des Logarithmes naturels (inventés par John Napier).
e se trouve dans de nombreux domaines intéressants, il vaut donc la peine d’en apprendre davantage.
Calcul
Il existe de nombreuses façons de calculer la valeur de e, mais aucune d’entre elles ne donne jamais de réponse totalement exacte, car e est irrationnel et ses chiffres continuent à jamais sans se répéter.
Mais il est connu à plus de 1 billion de chiffres de précision!
Par exemple, la valeur de (1 + 1/n)n s’approche de e lorsque n devient de plus en plus grand:
| n | (1 + 1/n)n |
| 1 | 2.00000 |
| 2 | 2.25000 |
| 5 | 2.48832 |
| 10 | 2.59374 |
| 100 | 2.70481 |
| 1,000 | 2.71692 |
| 10,000 | 2.71815 |
| 100,000 | 2.71827 |
Try it! Put « (1 + 1/100000)^100000 » into the calculator:
(1 + 1/100000)100000
What do you get?
Un autre calcul
La valeur de e est également égale à 10! + 11! + 12! + 13! + 14! + 15! + 16! + 17! + … (etc.)
(Remarque: « ! » signifie factorielle)
Les premiers termes s’additionnent à: 1 + 1 + 12 + 16 + 124 + 1120 = 2.71666…
En fait, Euler lui-même a utilisé cette méthode pour calculer e à 18 décimales.
Vous pouvez l’essayer vous-même sur la calculatrice Sigma.
Se souvenir
Pour se souvenir de la valeur de e (à 10 places), rappelez-vous simplement ce dicton (comptez les lettres!):
- À
- express
- e
- rappelez-vous
- à
- mémorisez
- une phrase
- à
- mémorisez
- ce
Ou vous pouvez vous souvenir du motif curieux qu’après le « 2.7 » le nombre « 1828 » apparaît DEUX FOIS:
2,7 1828 1828
Et APRÈS CE sont les chiffres des angles 45°, 90°, 45° dans un Triangle Isocèle Rectangle (pas de vraie raison, juste comme ça):
2,7 1828 1828 45 90 45
(Une façon instantanée de paraître vraiment intelligente!)
La croissance
e est utilisée dans la Fonction Exponentielle » Naturelle »:
Graphe de f(x)=ex
Il a cette merveilleuse propriété: « sa pente est sa valeur »
En tout point, la pente de ex est égale à la valeur de ex:
Lorsque x = 0, la valeur ex =1 et la pente =1
lorsque x =1, la valeur ex=e et la pente =e
etc…
Cela est vrai n’importe où pour ex, et rend certaines choses en calcul (où nous devons trouver des pentes) beaucoup plus faciles.
Area
L’aire jusqu’à n’importe quelle valeur x est également égale à ex :
Une propriété intéressante
Juste pour le plaisir, essayez « Couper Puis multiplier »
Disons que nous coupons un nombre en parties égales, puis multiplions ces parties ensemble.
Exemple: Coupez 10 en 2 morceaux et multipliez-les:
Chaque « morceau » a une taille de 10/2 = 5
5×5 = 25
Maintenant,… comment pourrions-nous obtenir que la réponse soit aussi grande que possible, quelle taille devrait être chaque pièce?
La réponse: faites en sorte que les pièces se rapprochent le plus possible de la taille « e ».
Exemple: 10
Le gagnant est le nombre le plus proche de « e », dans ce cas 2,5.
Essayez-le avec un autre numéro vous-même, disons 100,… qu’obtenez-vous?
100 chiffres décimaux
Voici e à 100 chiffres décimaux:
2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957
49669676277240766303535475945713821785251664274…
Avancé: Utilisation de e dans un intérêt composé
Souvent, le nombre e apparaît dans des endroits inattendus. Comme dans la finance.
Imaginez une merveilleuse banque qui paie 100% des intérêts.
En un an, vous pourriez transformer 1000 $ en 2000 $.
Imaginez maintenant que la banque paie deux fois par an, c’est-à-dire 50% et 50%
À mi-chemin de l’année, vous avez 1 500 $,
vous réinvestissez pour le reste de l’année et vos 1 500 $ passent à 2 250
Vous avez plus d’argent, parce que vous avez réinvesti à mi-chemin.
C’est ce qu’on appelle l’intérêt composé.
Pourrions-nous en obtenir encore plus si nous divisions l’année en mois?
Nous pouvons utiliser cette formule:
(1 + r /n) n
r= taux d’intérêt annuel (en décimal, donc 1 pas 100%)
n = nombre de périodes dans l’année
Notre exemple semestriel est:
(1+1/2)2 = 2.25
Essayons tous les mois:
(1+1/12)12 = 2.613…
Essayons 10 000 fois par an :
(1+1/10,000)10,000 = 2.718…
Oui, il se dirige vers e (et c’est ainsi que Jacob Bernoulli l’a découvert pour la première fois).
Pourquoi cela arrive-t-il?
La réponse réside dans la similitude entre:
| Formule de composition: | (1 +r /n) n | |
| et | ||
| e (à mesure que n s’approche de l’infini): | (1 + 1 /n)n |
La formule de composition ressemble beaucoup à la formule de e (lorsque n s’approche de l’infini), juste avec un r supplémentaire (le taux d’intérêt).
Lorsque nous avons choisi un taux d’intérêt de 100% (= 1 en décimal), les formules sont devenues les mêmes.
Lisez Composition continue pour en savoir plus.
La formule d’Euler pour les nombres complexes
e apparaît également dans cette équation la plus étonnante:
ein +1 = 0
En savoir plus ici
Transcendantal
e est également un nombre transcendantal.
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