Vector propio y Valor propio
¡Tienen muchos usos!
Un ejemplo simple es que un vector propio no cambia de dirección en una transformación:
Las matemáticas del mismo
Para una matriz cuadrada A, un Vector propio y un Valor propio hacen que esta ecuación sea verdadera:
Veremos cómo encontrarlos (si se pueden encontrar) pronto, pero primero veamos uno en acción:
Ejemplo: Para esta matriz -6 3 4 5 un vector propio es: 1 4 con el valor propio coincidente de 6
Hagamos algunas multiplicaciones de matriz para ver qué obtenemos.
Av nos da:
λv nos da :
Sí son iguales! Así que Av = λv como se prometió.
Observe cómo multiplicamos una matriz por un vector y obtenemos el mismo resultado que cuando multiplicamos un escalar (solo un número) por ese vector.
¿Cómo encontramos estas cosas propias?
Comenzamos por encontrar el valor propio: sabemos que esta ecuación debe ser verdadera:
Av = λv
Ahora pongamos una matriz de identidad para que estemos tratando con matriz vs matriz:
Av = λIv
Llevar todo al lado izquierdo:
Av-λIv = 0
Si v no es cero, entonces podemos resolver para λ usando solo el determinante:
| A-λI | = 0
ecuación en nuestro ejemplo anterior:
Ejemplo: Resolver para λ:
Comience con | A − λI | = 0
|
|
|
-6
3
4
5
− λ
1
0
0
1
|
|
|
= 0 |
Que es:
= 0
el Cálculo de dicho factor determinante obtiene:
(−6−λ)(5−λ) − 3×4 = 0
Que luego se nos esta Ecuación Cuadrática:
λ2 + λ − 42 = 0
Y resolviendo se obtiene:
λ = -7 o 6
Y sí, hay dos posibles valores propios.
Ahora que conocemos los valores propios, busquemos sus vectores propios coincidentes.
Ejemplo (continuación): Encuentre el Vector propio para el Valor propio λ = 6:
Comience con:
Av = λv
Poner en los valores que conocemos:
Después de multiplicar tenemos estas dos ecuaciones:
| −6x + 3y | = | 6x |
| 4x + 5y | = | 6y |
Bringing all to left hand side:
| −12x + 3y | = | 0 |
| 4x − 1y | = | 0 |
Either equation reveals that y = 4x, so the eigenvector is any non-zero multiple of this:
And we get the solution shown at the top of the page:
… y también …
Así que Av = λv
Ahora es tu turno para encontrar el vector propio para el otro autovalor de -7
¿por Qué?
¿Cuál es el propósito de estos?
Una de las cosas interesantes es que podemos usar matrices para hacer transformaciones en el espacio, que se usa mucho en gráficos por computadora.
En ese caso, el vector propio es» la dirección que no cambia de dirección».
Y el valor propio es la escala del tramo:
- 1 significa que no hay cambio,
- 2 significa que se duplica la longitud,
- -1 significa que apunta hacia atrás a lo largo de la dirección del valor propio
También hay muchas aplicaciones en física, etc.
Por qué «Eigen»
Eigen es una palabra alemana que significa «propio» o «típico»
«das ist ihnen eigen» es Alemán para «que es típico de ellos»
A veces en inglés usamos la palabra «característica», por lo que un vector propio se puede llamar «vector característico».
No solo los vectores propios de dos dimensiones
funcionan perfectamente en dimensiones 3 y superiores.
Ejemplo: encuentre los valores propios de esta matriz 3×3: 2 0 0 0 4 5 0 4 3
Calcular primero A-λI:
Ahora el determinante debe ser igual a cero:
Que es:
(2−λ) = 0
Esto termina siendo una ecuación cúbica, pero sólo mirarlo aquí vemos una de las raíces es 2 (porque de 2−λ), y la parte interior de los corchetes es Cuadrática, con la raíz de -1 y 8.
Los valores propios son -1, 2 y 8
Ejemplo (continuación): encontrar el vector propio que coincide con el Autovalor -1
Ponga en los valores que conocemos:
Después de la multiplicación de estas ecuaciones obtenemos:
| 2x | = | −x |
| 4y + 5z | = | −y |
| 4y + 3z | = | −z |
Bringing all to left hand side:
| 3x | = | 0 |
| 5y + 5z | = | 0 |
| 4y + 4z | = | 0 |
So x = 0, and y = −z and so the eigenvector is any non-zero multiple of this:
TEST Av:
Y λv:
Salto de Av = λv, yay!
(Usted puede intentar su mano en los valores propios de la 2 y 8)
Rotación
de Vuelta en el 2D mundo de nuevo, esta matriz va a hacer la rotación de las θ:
Ejemplo: Gira 30°
cos(30°) = √32 y el pecado(30°) = 12, entonces:
Pero si lo hacemos girar todos los puntos, ¿cuál es el «sentido de que no cambia de dirección»?
Trabajemos con las matemáticas para averiguar:
Primero calcule A-λI:
Ahora el determinante debe ser igual a cero:
Que es:
(√32−λ)(√32−λ) − (-12)(12) = 0
Que se convierte en esta Ecuación Cuadrática:
λ2 − (√3)λ + 1 = 0
Cuyas raíces son:
λ = √32 ± i2
Los autovalores son complejos!
No se como mostrarte eso en un gráfico, pero aun así obtenemos una solución.
Vector propio
Entonces, ¿qué es un vector propio que coincide, digamos, con la raíz √32 + i2?
Comience con:
Av = λv
Poner en los valores sabemos:
Después de multiplicar tenemos estas dos ecuaciones:
√32x − 12y = √32 + i2x
12x + √32y = √32y + i2y
Que simplificar a:
−y = ix
x = iy
Y la solución es no-cero bytes de:
o
Wow, como una simple respuesta!
¿Es solo porque elegimos 30°? O funciona para cualquier matriz de rotación? ¡Dejaré que lo resuelvas! Pruebe con otro ángulo, o mejor aún use «cos (θ) «y»sin(θ)».
Oh, y comprobemos al menos una de esas soluciones:
¿coincide con esto?
Oh, sí lo hace!
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