Teoría de la lógica – Tablas de verdad
Ahora equipadas con los principios de la teoría de la lógica, así como la notación básica, es hora de explorar el concepto de equivalencia en la lógica. Específicamente, ¿qué hace que dos locales compuestos sean iguales?
compuesto de Dos premisas X & Y son lógicamente equivalentes si, para cada asignación de valores de verdad a las primitivas instalaciones que componen X & Y, las declaraciones X & Y tienen los mismos valores de verdad.
Esa es una definición difícil de tragar, pero es la aplicación de esta definición lo que nos importa aprender. Para lograr esto, recorreremos múltiples ejemplos cada vez más complicados. Sin embargo, primero tomemos un desvío para aprender un poco más sobre nuestro Excalibur para este viaje, una de las herramientas más simples pero poderosas para que los lógicos prueben la equivalencia lógica: las tablas de verdad.
Una tabla de verdad es una herramienta visual, en forma de diagrama con columnas de filas &, que muestra la verdad o falsedad de una premisa compuesta. Es una forma de organizar la información para enumerar todos los escenarios posibles de las premisas proporcionadas. Comencemos con el ejemplo más simple, una tabla de verdad que representa una manipulación de premisa única: una negación (~) de una premisa primitiva (P)
Las tablas de verdad siempre se leen de izquierda a derecha, con una premisa primitiva en la primera columna. En el ejemplo anterior, nuestra premisa primitiva (P) está en la primera columna; mientras que la premisa resultante (~P), post-negación, constituye la columna dos.
Es fácil pensar demasiado las cosas aquí, no olvide que una premisa es simplemente una declaración que es verdadera o falsa. Dado que este ejemplo solo tiene una premisa única, solo necesitamos realizar un seguimiento de dos resultados; lo que resulta en dos filas para cuando P es verdadero o cuando es falso. La fila uno describe, leyendo de izquierda a derecha, que si P es verdadero, entonces la negación de P es falsa; la fila dos muestra que si P ya es falso, entonces la negación de P es verdadera.
Pasemos a un ejemplo más complicado de tablas de verdad en estado salvaje insertando un conectivo que hemos visto anteriormente: la implicación (- >). Para hacer esto un poco más digerible, asignemos a nuestras declaraciones P & Q algún contexto antes de construir nuestra tabla de verdad:
P: Thanos chasqueó los dedos
Q: el 50% de todos los seres vivos desaparecieron
Antes de mirar a continuación, piense en esta estructura dados los detalles anteriores. En primer lugar ,dado que tenemos dos premisas primitivas (P, Q), sabemos que necesitaremos al menos dos columnas; además, debemos prepararnos para la premisa resultante con la conectiva de implicación (P -> Q), que requerirá otra columna. Un total de tres columnas.
¿Qué pasa con las filas? Dado que tenemos dos premisas que pueden ser verdaderas o falsas, para tener en cuenta todos los escenarios posibles, requerimos un total de cuatro filas (P. S — se puede derivar un corolario ordenado de esta observación: una tabla de verdad que tiene en cuenta N premisas requiere N2 filas). Ahora vamos a dibujar la tabla de & asegúrese de que es comprensible:
Revise la tabla de verdad, por encima de la fila por fila. La primera fila confirma que ambos Thanos chasquearon sus dedos (P) & el 50% de todos los seres vivos desaparecieron (Q). Ya que ambas premisas son ciertas, entonces la resultante de la premisa (la implicación o condicional) es cierto:
Fila de a dos es igual de directo en la comprensión. Esta vez, P sigue siendo verdadera, sin embargo, Q ahora es falsa. La interpretación aquí es » Thanos chasqueó los dedos, pero el 50% de todos los seres vivos no desaparecieron.»Ya nos estamos preparando para demostrar la validez de la implicación, tiene sentido la afirmación anterior representa el punto de partida general como de manera inequívoca falso:
Las dos últimas filas son un poco más contra-intuitivo. Hay un atajo aquí: solo necesitamos mirar la primera columna para registrar que la implicación es verdadera. En ambas filas tres & cuatro, la premisa antecedente (P) es falsa, que es todo lo que necesitamos saber, independientemente del valor de la premisa Q, para determinar la implicación como verdadera.
¿por Qué es que un falso antecedente siempre conduce a una verdadera implicación? Porque en el universo de nuestra afirmación lógica, dado que el antecedente no ha sucedido, es imposible eliminar todos los escenarios posibles que podrían haber causado Q. Por ejemplo, la fila 3 dice que «Thanos no chasqueó los dedos, pero el 50% de todos los seres vivos desaparecieron» de todos modos. Bueno, por lo que sabemos, un meteorito, un desastre natural, una invasión alienígena o una miríada de otras actividades podrían haber causado esa extinción, en cualquiera de esos escenarios, independientemente de cuál, la implicación sigue siendo cierta porque todavía no podemos probar qué sucede cuando chasquea los dedos.
Onto Proving Equivalency
Las tablas de verdad son diagramas de seguimiento lógico ingeniosos y prácticos que se muestran no solo en matemáticas, sino también en ciencias de la computación e ingeniería eléctrica& filosofía también. La notación puede variar dependiendo de la industria en la que esté involucrado, pero los conceptos básicos son los mismos. Son una herramienta versátil e interdisciplinaria, pero solo hemos arañado la superficie de su utilidad.
Ahora equipado con tablas de verdad, es hora de crecer para demostrar la equivalencia entre múltiples instalaciones compuestas. En el siguiente artículo de esta serie, aprovecharemos nuestro conocimiento de composición para demostrar que dos premisas compuestas distintas, como la implicación & contra-positivas, son iguales.
publicado originalmente en
https://www.setzeus.com/
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