Rational Exponents

Learning Objective(s)

· Convert radicals to expressions with rational exponents.

· Convert expressions with rational exponents to their radical equivalent.

· Use the laws of exponents to simplify expressions with rational exponents.

· Use rational exponents to simplify radical expressions.

Introducción

las raíces Cuadradas son más a menudo por escrito el uso de un signo radical, como este, . Pero hay otra forma de representar la toma de una raíz. Puedes usar exponentes racionales en lugar de un radical. Un exponente racional es un exponente que es una fracción. Por ejemplo, se puede escribir como .

¿No puedes imaginar elevar un número a un exponente racional? Puede ser difícil acostumbrarse a ellos, pero los exponentes racionales en realidad pueden ayudar a simplificar algunos problemas. Exploremos la relación entre exponentes racionales (fraccionales) y radicales.

Los radicales y los exponentes fraccionados son formas alternativas de expresar lo mismo. Ya has visto cómo las raíces cuadradas se pueden expresar como un exponente al poder de la mitad.

Let’s look at some more examples, but this time with cube roots. Recuerde, al colocar un número en cubos se eleva a la potencia de tres. Observe que en estos ejemplos, el denominador del exponente racional es el número 3.

These examples help us model a relationship between radicals and exponentes racionales: es decir, que la enésima raíz de un número se puede escribir como o .

When faced with an expresión que contiene un exponente racional, se puede reescribir usando un radical. En la tabla anterior, observe cómo el denominador del exponente racional determina el índice de la raíz. Así, un exponente de se traduce a la raíz cuadrada, un exponente de se traduce en la quinta raíz o y se traduce en la octava de la raíz o de .

Recuerde que los exponentes sólo se refieren a la cantidad de inmediato a su izquierda, a menos que un símbolo de agrupación se utiliza. El siguiente ejemplo es muy similar al anterior, con una diferencia importante: ¡no hay paréntesis! Mira lo que pasa.

Just as you can rewrite an expression with a rational exponent as a radical expression, you can express a radical expression using a rational exponent.

Todos los numeradores de las fracciones de los exponentes en los ejemplos anteriores fueron: 1. Puede usar exponentes fraccionados que tengan numeradores distintos de 1 para expresar raíces, como se muestra a continuación. ¿Notas algún patrón dentro de esta tabla?

volver A escribir una radical el uso de un exponente fraccionario, la potencia de la que el radicando es elevado se convierte en el numerador y la raíz se convierte en el denominador.

Escribiendo exponentes fraccionados

Cualquier radical en la forma se puede escribir usando un exponente fraccionado en la forma .

La relación entre y funciona para exponentes racionales que tiene un numerador de 1 así. Por ejemplo, el radical también se puede escribir como , ya que cualquier número sigue siendo el mismo valor si se eleva a la primera potencia. Ahora puede ver de dónde viene el numerador de 1 en la forma equivalente de .

Exploremos algunas expresiones radicales ahora y veamos cómo simplificarlas. Aquí hay una expresión radical que necesita ser simplificada, .

Un método para simplificar esta expresión es factorizar y extraer grupos de a3, como se muestra a continuación en este ejemplo.

también puede simplificar esta expresión por el pensamiento acerca de la radical como una expresión con exponente racional, y utilizando el principio de que cualquier radical en la forma de puede ser escrito utilizando un exponente fraccionario en forma de .

Note that rational exponents are subject to all of the same rules as other exponents when they appear in algebraic expressions.

Ambos métodos de simplificación dieron el mismo resultado, a2. Dependiendo del contexto del problema, puede ser más fácil usar un método u otro, pero por ahora, notará que pudo simplificar esta expresión más rápidamente usando exponentes racionales que cuando usó el método «extraíble».

Probemos con otro ejemplo.

de Nuevo, el método alternativo es trabajar en la simplificación bajo el radical mediante el uso de factorización. Para el ejemplo que acaba de resolver, se ve así.

Which of the expressions below is equal to the expression when written using a rational exponent?

A)

B)

C)

D)

Vamos a probar una expresión más complicada, . Esta expresión tiene dos variables, una fracción y una radical. Vayamos paso a paso y veamos si el uso de exponentes fraccionados puede ayudarnos a simplificarlo.

Comencemos simplificando el denominador, ya que aquí es donde se encuentra el signo radical.

Bueno, que tomó un tiempo, pero lo hizo. Aplicaste lo que sabes sobre exponentes fraccionarios, exponentes negativos y las reglas de exponentes para simplificar la expresión.

Un radical puede ser expresado como una expresión con exponente fraccionario siguiendo la convención de . Reescribir radicales usando exponentes fraccionados puede ser útil para simplificar algunas expresiones radicales. Cuando se trabaja con exponentes fraccionarios, recuerde que los exponentes fraccionarios están sujetos a las mismas reglas que otros exponentes cuando aparecen en expresiones algebraicas.