El Libro 1 de Los Elementos comienza con numerosas definiciones seguidas de los famosos cinco postulados. Luego, antes de que Euclides comience a probar teoremas, da una lista de nociones comunes. Las primeras definiciones son:

Los postulados son de construcción como:

Se puede dibujar una línea recta de cualquier punto a cualquier punto.

Las nociones comunes son axiomas como:

Las cosas iguales a la misma cosa también son iguales entre sí.

Debemos tener en cuenta ciertas cosas.

1. Euclides parece definir un punto dos veces (definiciones 1 y 3) y una línea dos veces (definiciones 2 y 4). Esto es bastante extraño.
2. Euclid nunca hace uso de las definiciones y nunca se refiere a ellas en el resto del texto.
3. Algunos conceptos nunca se definen. Por ejemplo, no hay noción de ordenar los puntos en una línea, por lo que la idea de que un punto está entre dos otros nunca se define, pero por supuesto se usa.
4. Como señalamos en Los números reales: Pitágoras a Stevin, El Libro V de Los Elementos considera las magnitudes y la teoría de la proporción de magnitudes. Sin embargo, Euclides deja el concepto de magnitud indefinida y esto parece a los lectores modernos como si Euclides no ha logrado establecer magnitudes con el rigor por el que es famoso.
5. Cuando Euclides introduce magnitudes y números, da algunas definiciones, pero no postulados ni nociones comunes. Por ejemplo uno podría esperar de Euclides para postular a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c)a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c), etc. pero no lo hace.
6. Cuando Euclides introduce números en el Libro VII, hace una definición bastante similar a las básicas al principio del Libro I:
   Una unidad es aquella en virtud de la cual cada una de las cosas que existen se llama una.

Algunos historiadores han sugerido que la diferencia entre la forma en que las definiciones básicas ocurren al principio del Libro I y del Libro V no es porque Euclides fuera menos riguroso en el Libro V, sino que sugieren que Euclides siempre dejó sus conceptos básicos sin definir y las definiciones al principio del Libro I son adiciones posteriores. ¿Cuál es la evidencia de esto?El primer comentario sería que esto explicaría por qué Euclides nunca se refiere a las definiciones básicas. Si no estuvieran en el texto que escribió Euclides, por supuesto, no podría referirse a ellos. El siguiente punto a tener en cuenta es que son muy similares a la obra que se atribuye a Heron llamadas Definiciones de términos en geometría. Contiene 133 definiciones de términos geométricos que comienzan con puntos, líneas, etc. que son muy cercanas a las dadas por Euclides. En Knorr argumenta convincentemente que este trabajo es, de hecho, debido a Diofanto. El punto aquí es el siguiente. ¿Las definiciones de términos en geometría se basan en los Elementos de Euclides o las definiciones básicas de este trabajo se han insertado en versiones posteriores de Los Elementos?Tenemos que considerar lo que dice Sextus Empiricus sobre las definiciones. La primera nota es que Sexto escribió alrededor del año 200 DC y se creía hasta hace relativamente poco que Heron vivió más tarde que esto. Si este fuera el caso, entonces, por supuesto, Sexto no podría haberse referido a nada escrito por Heron. Sin embargo, más recientemente, la Garza se ha fechado en el siglo I d.C. y esto nos dice que Sexto escribió después de la Garza. La otra parte del rompecabezas que tenemos que considerar aquí es la primera versión de los elementos de Euclides que se encuentran. Cuando el Vesubio entró en erupción en el año 79 d.C., Herculano, junto con Pompeya y Estabia, fue destruido. Herculano fue enterrado por una masa compacta de material de unos 16 m de profundidad que preservó la ciudad hasta que comenzaron las excavaciones en el siglo XVIII. Condiciones especiales de humedad del suelo conservaron madera, tela, alimentos, y en particular papiros que nos dan información importante. Un papiro encontrado allí contiene fragmentos de Los Elementos y fue escrito claramente antes del año 79 d.C. Dado que Filodemo, un estudiante de Zenón de Sidón, llevó su biblioteca de papiros allí poco después del año 75 a.C., es probable que la versión de Los Elementos sea de alrededor de esa fecha.Volvamos a Sexto, que escribe sobre » matemáticos que describen entidades geométricas «y es interesante que la palabra» describir » no se use en Los Elementos, sino que Heron la use en Definiciones de términos en geometría. Una vez más, las descripciones que da son más cercanas a las palabras exactas que aparecen en Heron que las de Euclides. Al Sexto dar «la definición de un círculo» él usa la palabra «definición», que es la de Euclides. Sexto cita la definición precisa de un círculo que aparece en el fragmento de Herculano. Esto no incluye una definición de «circunferencia», aunque Euclides usa la noción de circunferencia de un círculo. Las versiones posteriores de Los Elementos que han llegado hasta nosotros incluyen una definición de» circunferencia » dentro de la definición de un círculo.
Nada de lo anterior prueba si las definiciones básicas de objetos geométricos se han agregado a Los Elementos más tarde. Muestran de manera bastante convincente que la definición de círculo se ha ampliado para incluir la definición de circunferencia en ediciones posteriores del libro. La hipótesis es que Sexto tiene los Elementos y Definiciones de términos en geometría frente a él cuando está escribiendo y usa la palabra «describir» cuando se refiere a Heron y «definir» cuando se refiere a Euclides. Incluso si esto es correcto, todavía no prueba que la versión de Los Elementos que se sientan frente a Sexto no contenga definiciones básicas de objetos geométricos, pero hace que tal posibilidad al menos valga la pena debatirla. ¿Qué opinas?Un último punto en el que pensar. Citamos arriba:

Def. 1.4. Una línea recta se encuentra igualmente con respecto a los puntos sobre sí misma.

¿Qué significa esto? Parece una descripción extraña para Euclides, porque parece carecer de sentido. Compárela con la definición de una línea recta en Definiciones de términos en geometría:

Una línea recta es una línea que igualmente con respecto a todos los puntos sobre sí misma se encuentra recta y máxima tensa entre sus extremidades.

Nuevamente preguntamos al lector: ¿cree que la definición que aparece en Los Elementos es una corrupción de la definición de Heron y así se agregó más tarde, o cree que Euclides dio una definición bastante pobre que fue mejorada por Heron? ¿Por qué no se utiliza la definición de línea recta como la distancia más corta entre dos puntos?