Introducción

Las ecuaciones matemáticas no solo son útiles, muchas son bastante hermosas. Y muchos científicos admiten que a menudo les gustan las fórmulas particulares no solo por su función, sino por su forma y las verdades simples y poéticas que contienen.

Mientras que ciertas ecuaciones famosas, como E = mc^2 de Albert Einstein, acaparan la mayor parte de la gloria pública, muchas fórmulas menos familiares tienen sus campeones entre los científicos. LiveScience pidió a físicos, astrónomos y matemáticos sus ecuaciones favoritas; esto es lo que encontramos:

Relatividad general

La ecuación anterior fue formulada por Einstein como parte de su innovadora teoría general de la relatividad en 1915. La teoría revolucionó la forma en que los científicos entendían la gravedad al describir la fuerza como una deformación del tejido del espacio y el tiempo.

«Sigue siendo increíble para mí que una de esas ecuaciones matemáticas pueda describir de qué se trata el espacio-tiempo», dijo el astrofísico del Instituto de Ciencias del Telescopio Espacial Mario Livio, quien nominó la ecuación como su favorita. «Todo el verdadero genio de Einstein está encarnado en esta ecuación.»

» El lado derecho de esta ecuación describe el contenido de energía de nuestro universo (incluida la ‘energía oscura’ que impulsa la aceleración cósmica actual)», explicó Livio. «El lado izquierdo describe la geometría del espacio-tiempo. La igualdad refleja el hecho de que en la relatividad general de Einstein, la masa y la energía determinan la geometría, y concomitantemente la curvatura, que es una manifestación de lo que llamamos gravedad.»

» Es una ecuación muy elegante», dijo Kyle Cranmer, físico de la Universidad de Nueva York, y agregó que la ecuación revela la relación entre el espacio-tiempo, la materia y la energía. «Esta ecuación te dice cómo se relacionan: cómo la presencia del sol deforma el espacio-tiempo para que la Tierra se mueva alrededor de él en órbita, etc. También te dice cómo evolucionó el universo desde el Big Bang y predice que debería haber agujeros negros.»

El Modelo Estándar

Otra de las teorías reinantes de la física, el modelo estándar describe la colección de partículas fundamentales que actualmente se cree que forman nuestro universo.

La teoría se puede encapsular en una ecuación principal llamada el modelo estándar Lagrangiano (llamado así por el matemático y astrónomo francés del siglo XVIII Joseph Louis Lagrange), que fue elegido por el físico teórico Lance Dixon del Laboratorio Nacional de Aceleradores de SLAC en California como su fórmula favorita.

«Ha descrito con éxito todas las partículas y fuerzas elementales que hemos observado en el laboratorio hasta la fecha, excepto la gravedad», dijo Dixon a LiveScience. «Eso incluye, por supuesto, el bosón de Higgs recientemente descubierto, phi en la fórmula. Es totalmente coherente con la mecánica cuántica y la relatividad especial.»

La teoría del modelo estándar aún no se ha unido con la relatividad general, por lo que no puede describir la gravedad.

Cálculo

Mientras que las dos primeras ecuaciones describen aspectos particulares de nuestro universo, otra ecuación favorita se puede aplicar a todo tipo de situaciones. El teorema fundamental del cálculo forma la columna vertebral del método matemático conocido como cálculo, y vincula sus dos ideas principales, el concepto de la integral y el concepto de la derivada.

«En palabras simples, dice que el cambio neto de una cantidad suave y continua, como una distancia recorrida, durante un intervalo de tiempo dado (i. e. la diferencia en los valores de la cantidad en los puntos finales del intervalo de tiempo) es igual a la integral de la tasa de cambio de esa cantidad, es decir, la integral de la velocidad», dijo Melkana Brakalova-Trevithick, presidenta del departamento de matemáticas de la Universidad de Fordham, quien eligió esta ecuación como su favorita. «El teorema fundamental del cálculo (FTC) nos permite determinar el cambio neto en un intervalo basado en la tasa de cambio en todo el intervalo.»

Las semillas del cálculo comenzaron en la antigüedad, pero gran parte de ellas fueron creadas en el siglo XVII por Isaac Newton, quien usó el cálculo para describir los movimientos de los planetas alrededor del sol.

teorema de Pitágoras

Una ecuación «vieja pero buena» es el famoso teorema de Pitágoras, que todo estudiante de geometría inicial aprende.

Esta fórmula describe cómo, para cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa, c, (el lado más largo de un triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados (a y b). Por lo tanto, a^2 + b^2 = c^2

«El primer hecho matemático que me sorprendió fue el teorema de Pitágoras», dijo la matemática Daina Taimina de la Universidad de Cornell. «Yo era un niño entonces y me parecía tan increíble que funciona en geometría y funciona con números!»

1 = 0.999999999….

Esta ecuación simple, que establece que la cantidad 0.999, seguida de una cadena infinita de nueves, es equivalente a uno, es el favorito del matemático Steven Strogatz de la Universidad de Cornell.

«Me encanta lo simple que es, todos entienden lo que dice, pero lo provocativo que es», dijo Strogatz. «Mucha gente no cree que pueda ser verdad. También está muy bien equilibrado. El lado izquierdo representa el comienzo de las matemáticas; el lado derecho representa los misterios del infinito.»

Relatividad especial

Einstein vuelve a hacer la lista con sus fórmulas para la relatividad especial, que describen cómo el tiempo y el espacio no son conceptos absolutos, sino que son relativos dependiendo de la velocidad del observador. La ecuación anterior muestra cómo el tiempo se dilata, o se ralentiza, cuanto más rápido se mueve una persona en cualquier dirección.

«El punto es que es realmente muy simple», dijo Bill Murray, físico de partículas del laboratorio del CERN en Ginebra. «No hay nada que un estudiante de nivel A no pueda hacer, no hay derivados complejos y álgebras de trazas. Pero lo que encarna es una forma completamente nueva de ver el mundo, una actitud total hacia la realidad y nuestra relación con ella. De repente, el cosmos rígido e inmutable es barrido y reemplazado con un mundo personal, relacionado con lo que observas. Te mueves de estar fuera del universo, mirando hacia abajo, a uno de los componentes dentro de él. Pero los conceptos y las matemáticas pueden ser entendidos por cualquiera que lo desee.»

Murray dijo que prefería las ecuaciones de relatividad especial a las fórmulas más complicadas de la teoría posterior de Einstein. «Nunca pude seguir las matemáticas de la relatividad general», dijo.

Ecuación de Euler

Esta fórmula simple encapsula algo puro sobre la naturaleza de las esferas:

«Dice que si corta la superficie de una esfera en caras, aristas y vértices, y deja que F sea el número de caras, E el número de aristas y V el número de vértices, siempre obtendrá V – E + F = 2», dijo Colin Adams, matemático del Williams College en Massachusetts.

«Así que, por ejemplo, tomemos un tetraedro, que consta de cuatro triángulos, seis aristas y cuatro vértices», explicó Adams. «Si soplas con fuerza en un tetraedro con caras flexibles, podrías redondearlo en una esfera, de modo que en ese sentido, una esfera se puede cortar en cuatro caras, seis bordes y cuatro vértices. Y vemos que V-E + F = 2. Lo mismo vale para una pirámide con cinco caras, cuatro triangulares, y una cuadrada, ocho aristas y cinco vértices, » y cualquier otra combinación de caras, aristas y vértices.

» ¡Un hecho muy interesante! La combinatoria de los vértices, bordes y caras está capturando algo muy fundamental sobre la forma de una esfera», dijo Adams.

Ecuaciones de Euler-Lagrange y teorema de Noether

«Estos son bastante abstractos, pero increíblemente poderosos», dijo Cranmer de NYU. «Lo bueno es que esta forma de pensar sobre la física ha sobrevivido a algunas revoluciones importantes en la física, como la mecánica cuántica, la relatividad, etc.»

Aquí, L significa el Lagrangiano, que es una medida de energía en un sistema físico, como resortes, palancas o partículas fundamentales. «Resolver esta ecuación indica cómo evolucionará el sistema con el tiempo», dijo Cranmer.

Un derivado de la ecuación de Lagrange se llama teorema de Noether, en honor al matemático alemán del siglo XX Emmy Noether. «Este teorema es realmente fundamental para la física y el papel de la simetría», dijo Cranmer. «Informalmente, el teorema es que si su sistema tiene una simetría, entonces hay una ley de conservación correspondiente. Por ejemplo, la idea de que las leyes fundamentales de la física son las mismas hoy que mañana (simetría del tiempo) implica que la energía se conserva. La idea de que las leyes de la física son las mismas aquí que en el espacio exterior implica que se conserva el impulso. La simetría es quizás el concepto de conducción en la física fundamental, principalmente debido a la contribución.»

La ecuación de Callan-Symanzik

«El Callan-La ecuación de Symanzik es una ecuación de primeros principios vital de 1970, esencial para describir cómo fracasarán las expectativas ingenuas en un mundo cuántico», dijo el físico teórico Matt Strassler de la Universidad de Rutgers.

La ecuación tiene numerosas aplicaciones, incluyendo permitir a los físicos estimar la masa y el tamaño de los protones y neutrones, que componen los núcleos de los átomos.

La física básica nos dice que la fuerza gravitacional, y la fuerza eléctrica, entre dos objetos es proporcional a la inversa de la distancia entre ellos al cuadrado. En un nivel simple, lo mismo es cierto para la fuerte fuerza nuclear que une protones y neutrones para formar los núcleos de átomos, y que une quarks para formar protones y neutrones. Sin embargo, pequeñas fluctuaciones cuánticas pueden alterar ligeramente la dependencia de una fuerza de la distancia, lo que tiene consecuencias dramáticas para la fuerza nuclear fuerte.

«Evita que esta fuerza disminuya a largas distancias, y hace que atrape quarks y los combine para formar los protones y neutrones de nuestro mundo», dijo Strassler. «Lo que hace la ecuación de Callan-Symanzik es relacionar este efecto dramático y difícil de calcular, importante cuando es aproximadamente del tamaño de un protón, con efectos más sutiles pero más fáciles de calcular que se pueden medir cuando es mucho más pequeño que un protón.»

La ecuación de superficie mínima

«La ecuación de superficie mínima codifica de alguna manera las hermosas películas de jabón que forme en los límites de los cables cuando los sumerja en agua jabonosa», dijo el matemático Frank Morgan de Williams College. «El hecho de que la ecuación sea ‘no lineal’, que involucre potencias y productos derivados, es la pista matemática codificada para el sorprendente comportamiento de las películas de jabón. Esto contrasta con ecuaciones diferenciales parciales lineales más familiares, como la ecuación de calor, la ecuación de onda y la ecuación de Schrödinger de física cuántica.»