e (Número de Euler)
El número e es uno de los números más importantes en matemáticas.
Los primeros dígitos son:
2.7182818284590452353602874713527 (y más …)
A menudo se le llama número de Euler en honor a Leonhard Euler (pronunciado «Engrasador»).
e es un número irracional (no se puede escribir como una fracción simple).
e es la base de los Logaritmos Naturales (inventados por John Napier).
e se encuentra en muchas áreas interesantes, por lo que vale la pena aprender sobre ellas.
Calculando
Hay muchas formas de calcular el valor de e, pero ninguna de ellas da una respuesta totalmente exacta, porque e es irracional y sus dígitos continúan para siempre sin repetirse.
Pero se sabe que más de 1 billón de dígitos de precisión!
Por ejemplo, el valor de (1 + 1/n)n se aproxima a e a medida que n se hace más y más grande:
| n | (1 + 1/n)n |
| 1 | 2.00000 |
| 2 | 2.25000 |
| 5 | 2.48832 |
| 10 | 2.59374 |
| 100 | 2.70481 |
| 1,000 | 2.71692 |
| 10,000 | 2.71815 |
| 100,000 | 2.71827 |
Try it! Put «(1 + 1/100000)^100000» into the calculator:
(1 + 1/100000)100000
What do you get?
Otro cálculo
¡El valor de e también es igual a 10! + 11! + 12! + 13! + 14! + 15! + 16! + 17! + … (etc)
(Nota: «!»significa factorial)
Los primeros términos suman: 1 + 1 + 12 + 16 + 124 + 1120 = 2.71666…
De hecho, el propio Euler utilizó este método para calcular e a 18 decimales.
Puede probarlo usted mismo en la Calculadora Sigma.
Recordar
Para recordar el valor de e (hasta 10 lugares) solo recuerda este dicho (¡cuenta las letras!):
- A
- express
- e
- recuerda
- a
- memorizar
- un
- frase
- a
- memorizar
- este
O puede recordar el curioso patrón que después de la «2.7» el número «de 1828» aparece dos veces:
2.7 1828 1828
Y siguientes QUE son los dígitos de los ángulos de 45°, 90°, 45° en un Ángulo recto Triángulo Isósceles (no hay ninguna razón real, cómo es):
2.7 1828 1828 45 90 45
(de Una manera instantánea a parecer muy inteligente!)
Crecimiento
e se utiliza en la Función Exponencial «Natural» :
Gráfico de f(x) = ex
Tiene esta maravillosa propiedad: «su pendiente es su valor»
En cualquier punto la pendiente de ex es igual al valor de ex :
x=0, el valor ex = 1, y la pendiente = 1
cuando x=1, el valor ex = e, y la pendiente = e
, etc…
Esto es cierto en cualquier lugar para ex, y hace que algunas cosas en Cálculo (donde necesitamos encontrar pendientes) sean mucho más fáciles.
Área
El área hasta cualquier valor x también es igual a ex :
Una propiedad interesante
Solo por diversión, intente «Cortar y multiplicar»
Digamos que cortamos un número en partes iguales y luego multiplicamos esas partes juntas.
Ejemplo: Corte de 10 en 2 piezas y multiplicar:
Cada «pieza» es 10/2 = 5 en el tamaño
5×5 = 25
Ahora, … ¿cómo podríamos conseguir que la respuesta sea lo más grande posible, de qué tamaño debería ser cada pieza?
La respuesta: haga que las piezas estén lo más cerca posible del tamaño de «e».
Ejemplo: 10
El ganador es el número más cercano a la «e», en este caso 2.5.
Pruébalo tú mismo con otro número, digamos 100, … ¿qué consigues?
100 Dígitos Decimales
Aquí es e a 100 dígitos decimales:
2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957
49669676277240766303535475945713821785251664274…
Avanzado: Uso de e en Interés compuesto
A menudo el número e aparece en lugares inesperados. Como en finanzas.
Imagine un banco maravilloso que paga el 100% de interés.
En un año podrías convertir $1000 en 2 2000.
Ahora imagine que el banco paga dos veces al año, es decir, un 50% y un 50%
A mitad del año que tiene $1500, reinvierte el resto del año y sus 1 1500 crecen a 2 2250
Obtiene más dinero, porque reinvierte a mitad del año.
Que se llama interés compuesto.
¿Podríamos obtener aún más si dividiéramos el año en meses?
Podemos usar esta fórmula:
(1 + r/n)n
r = tasa de interés anual (como decimal, por lo que 1 no 100%)
n = número de períodos dentro del año
Nuestro ejemplo semestral es:
(1+1/2)2 = 2.25
Probémoslo mensualmente:
(1+1/12)12 = 2.613…
Probémoslo 10.000 veces al año:
(1+1/10,000)10,000 = 2.718…
Sí, se dirige hacia e (y es como Jacob Bernoulli lo descubrió por primera vez).
¿Por qué sucede eso?
La respuesta radica en la similitud entre:
| Compuesto de la Fórmula: | (1 + r/n)n | |
| y | ||
| e (como n se acerca a infinito): | (1 + 1/n)n |
La fórmula de composición es muy similar a la fórmula para e (a medida que n se acerca al infinito), solo con una r extra (la tasa de interés).
Cuando elegimos una tasa de interés del 100% (=1 como decimal), las fórmulas se convirtieron en las mismas.
Lea la composición continua para obtener más información.
Fórmula de Euler para los Números Complejos
e también aparece en este maravilloso ecuación:
ein + 1 = 0
Leer más
Trascendental
e es también un trascendental número.
Leave a Reply