Welleninterferenz
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Das Prinzip der Überlagerung von Wellen besagt, dass, wenn zwei oder mehr sich ausbreitende Wellen des gleichen Typs auf denselben Punkt treffen, die resultierende Amplitude an diesem Punkt gleich der Vektorsumme der Amplituden der einzelnen Wellen ist. Wenn ein Wellenkamm am selben Punkt auf einen Kamm einer anderen Welle derselben Frequenz trifft, ist die Amplitude die Summe der einzelnen Amplituden — dies ist konstruktive Interferenz. Wenn ein Kamm einer Welle auf einen Trog einer anderen Welle trifft, ist die Amplitude gleich der Differenz der einzelnen Amplituden — dies wird als destruktive Interferenz bezeichnet.
Konstruktive Interferenz tritt auf, wenn die Phasendifferenz zwischen den Wellen ein gerades Vielfaches von π (180°) ist, während destruktive Interferenz auftritt, wenn die Differenz ein ungerades Vielfaches von π ist. Wenn die Differenz zwischen den Phasen zwischen diesen beiden Extremen liegt, liegt die Größe der Verschiebung der summierten Wellen zwischen den minimalen und maximalen Werten.
Betrachten Sie zum Beispiel, was passiert, wenn zwei identische Steine an verschiedenen Stellen in ein stilles Wasserbecken fallen. Jeder Stein erzeugt eine kreisförmige Welle, die sich von dem Punkt, an dem der Stein fallen gelassen wurde, nach außen ausbreitet. Wenn sich die beiden Wellen überlappen, ist die Nettoverschiebung an einem bestimmten Punkt die Summe der Verschiebungen der einzelnen Wellen. An einigen Stellen werden diese in Phase sein und eine maximale Verschiebung erzeugen. An anderen Stellen befinden sich die Wellen in einer Antiphase, und an diesen Punkten gibt es keine Nettoverschiebung. Somit sind Teile der Oberfläche stationär — diese sind in der Abbildung oben und rechts als stationäre blaugrüne Linien zu sehen, die von der Mitte ausgehen.Interferenz von Licht ist ein weit verbreitetes Phänomen, das klassisch durch die Überlagerung von Wellen erklärt werden kann, aber ein tieferes Verständnis von Lichtinterferenz erfordert Kenntnisse der Wellen-Teilchen-Dualität von Licht, die auf die Quantenmechanik zurückzuführen ist. Paradebeispiele für Lichtinterferenz sind das berühmte Doppelspaltexperiment, Laserspeckle, Antireflexbeschichtungen und Interferometer. Traditionell wird das klassische Wellenmodell als Grundlage für das Verständnis optischer Interferenzen auf der Grundlage des Huygens–Fresnel-Prinzips gelehrt.
DerivationEdit
Das Obige kann in einer Dimension demonstriert werden, indem die Formel für die Summe zweier Wellen abgeleitet wird. Die Gleichung für die Amplitude einer sinusförmigen Welle, die sich entlang der x-Achse nach rechts bewegt, lautet
W 1 ( x , t ) = A cos ( k x − ω t ) {\displaystyle W_{1}(x,t)=A\cos(kx-\omega t)\,}
wobei A {\displaystyle A\,}
die Spitzenamplitude ist, k = 2 π/λ {\displaystyle k=2\pi /\lambda \,}
die Wellenzahl ist und ω = 2 π f {\displaystyle \omega =2\pi f\,}
ist die Winkelfrequenz der Welle. Angenommen, eine zweite Welle gleicher Frequenz und Amplitude mit einer anderen Phase bewegt sich ebenfalls nach rechts W 2 ( x , t ) = A cos ( k x − ω t + φ ) {\displaystyle W_{2}(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi )\,}
die Phasendifferenz zwischen den Wellen im Bogenmaß ist. Die beiden Wellen überlagern und addieren sich: die Summe der beiden Wellen ist W 1 + W 2 = A. {\displaystyle W_{1}+W_{2}=A.}
Verwendung der trigonometrischen Identität für die Summe zweier Kosinusse: cos a + cos b = 2 cos a − b 2 ) cos ( a + b 2 ) , {\displaystyle \cos a+\cos b=2\cos {\Bigl (}{a-b \over 2}{\Bigr )}\cos {\Bigl (}{a+b \over 2}{\Bigr )},}
dies kann geschrieben werden, W 1 + W 2 = 2 A cos ( φ 2 ) cos ( k x − ω t + φ 2 ) . {\displaystyle W_{1}+W_{2}=2A\cos {\Bigl (}{\varphi \über 2}{\Bigr )}\cos {\Bigl (}kx-\omega t+{\varphi \über 2}{\Bigr )}.}
Dies stellt eine Welle mit der ursprünglichen Frequenz dar, die sich wie ihre Komponenten nach rechts bewegt und deren Amplitude proportional zum Kosinus von φ / 2 ist {\displaystyle \varphi /2}
.
- Konstruktive Interferenz: Wenn die Phasendifferenz ein gerades Vielfaches von π ist: φ = … , − 4 π , − 2 π , 0 , 2 π , 4 π , … {\displaystyle \varphi =\ldots ,-4\pi ,-2\pi ,0,2\pi ,4\pi ,\ldots }
dann | cos ( φ / 2 ) | = 1 {\displaystyle |\cos(\varphi /2)|=1\,}
, also ist die Summe der beiden Wellen eine Welle mit der doppelten Amplitude
W 1 + W 2 = 2 A cos ( k x – ω t ) {\displaystyle W_{1}+W_{2}=2A\cos(kx-\omega t)}
- Destruktive Interferenz: Wenn die Phasendifferenz ein ungerades Vielfaches von π ist: φ = … , − 3 π , − π , π , 3 π , 5 π , … {\displaystyle \varphi =\ldots ,-3\pi ,\,-\pi ,\,\pi ,\,3\pi ,\,5\pi ,\ldots }
dann cos ( φ / 2 ) = 0 {\displaystyle \cos(\varphi /2)=0\,}
, also ist die Summe der beiden Wellen Null
W 1 + W 2 = 0 {\displaystyle W_{1}+W_{2}=0\,}
Zwischen zwei ebenen Wellenbearbeiten
Eine einfache Form des Interferenzmusters wird erhalten, wenn sich zwei ebene Wellen derselben Frequenz in einem Winkel schneiden.Interferenz ist im Wesentlichen ein Energieumverteilungsprozess. Die Energie, die bei der destruktiven Interferenz verloren geht, wird bei der konstruktiven Interferenz zurückgewonnen.Eine Welle bewegt sich horizontal und die andere bewegt sich in einem Winkel θ zur ersten Welle nach unten. Unter der Annahme, dass die beiden Wellen am Punkt B in Phase sind, ändert sich die relative Phase entlang der x-Achse. Die Phasendifferenz am Punkt A ist gegeben durch
Δ φ = 2 π d λ = 2 π x sin θ λ . {\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {2\pi d}{\lambda }}={\frac {2\pi x\sin \theta }{\lambda }}.}
Es ist ersichtlich, dass die beiden Wellen in Phase sind, wenn
x sin θ λ = 0 , ± 1 , ± 2 , … , {\ displaystyle {\frac {x\sin \theta }{\lambda }}=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,}
und sind einen halben Zyklus phasenverschoben, wenn
x sin θ λ = ± 1 2 , ± 3 2 , … {\ displaystyle {\frac {x\sin \theta }{\lambda }}=\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {3}{2}},\ldots }
Konstruktive Interferenz tritt auf, wenn die Wellen in Phase sind, und destruktive Interferenz, wenn sie einen halben Zyklus außerhalb der Phase sind. Somit wird ein Interferenzstreifenmuster erzeugt, wobei der Abstand der Maxima
d f = λ sin θ {\displaystyle d_{f}={\frac {\lambda }{\sin\theta }}}
beträgt und df als Streifenabstand bekannt ist. Der Streifenabstand nimmt mit zunehmender Wellenlänge und mit abnehmendem Winkel θ zu.
Die Fransen werden überall dort beobachtet, wo sich die beiden Wellen überlappen und der Fransenabstand durchgehend gleichmäßig ist.
Zwischen zwei sphärischen Wellenbearbeiten
Eine Punktquelle erzeugt eine sphärische Welle. Wenn sich das Licht von zwei Punktquellen überlappt, bildet das Interferenzmuster die Art und Weise ab, in der sich die Phasendifferenz zwischen den beiden Wellen im Raum ändert. Dies hängt von der Wellenlänge und von der Trennung der Punktquellen ab. Die Abbildung rechts zeigt die Interferenz zwischen zwei sphärischen Wellen. Die Wellenlänge nimmt von oben nach unten zu und der Abstand zwischen den Quellen nimmt von links nach rechts zu.
Wenn die Beobachtungsebene weit genug entfernt ist, wird das Streifenmuster eine Reihe von fast geraden Linien sein, da die Wellen dann fast planar sind.
Multiple beamsEdit
Interferenz tritt auf, wenn mehrere Wellen addiert werden, vorausgesetzt, dass die Phasendifferenzen zwischen ihnen über die Beobachtungszeit konstant bleiben.
Es ist manchmal wünschenswert, dass sich mehrere Wellen derselben Frequenz und Amplitude zu Null summieren (dh destruktiv interferieren, abbrechen). Dies ist beispielsweise das Prinzip der 3-Phasen-Stromversorgung und des Beugungsgitters. In beiden Fällen wird das Ergebnis durch einen gleichmäßigen Abstand der Phasen erreicht.
Es ist leicht zu erkennen, dass sich eine Reihe von Wellen aufhebt, wenn sie die gleiche Amplitude haben und ihre Phasen im Winkel gleich beabstandet sind. Mit Hilfe von Phasoren kann jede Welle als A e i φ n {\displaystyle Ae^{i\varphi _{n}}}
für N {\displaystyle N}
Wellen von n = 0 {\displaystyle n= 0}
bis n = N − 1 {\displaystyle n=N-1}
, wobei φ n − φ n − 1 = 2 π N ist. {\displaystyle \varphi _{n}-\varphi _{n-1}={\frac {2\pi }{N}}.}
Um zu zeigen, dass
∑ n = 0 N − 1 A e i φ n = 0 {\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}Ae^{i\varphi _{n}}=0}
immt lediglich das Gegenteil an, multipliziert dann beide Seiten mit e i 2 π N. {\displaystyle e^{i{\frac {2\pi }{N}}}.}
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